Solusi Pengerjaan Soal Pelajaran Sulitmu Gratis!

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa $\overrightarrow{\mathbf{g}}=0,25(\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}+\overrightarrow{\mathbf{d}})$.

Ingat!

Apabila titik $\mathrm{P}$ terletak pada tengah ruas garis $\mathrm{AB}$ merniliki perbandingan $m:n$, maka perbandingan panjang,

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}:\overrightarrow{PB}=m:n \\ \overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{n+m} \end{gathered}$$

Perhatikan ilustrasi berikut!

Titik $\mathrm{P}$ merupakan titik berat segitiga $\mathrm{BCD}$, sehingga $\overrightarrow{AG}:\overrightarrow{GP}=3:1$. 

Jika $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\mathrm{dan}\overrightarrow{g}$ merupakan vektor posisi titik $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}\mathrm{dan}\mathrm{G}$, maka diperoleh:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& \frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\\ \overrightarrow{g}& =& \frac{3\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}}{4}\\ & =& \frac{3\times \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\right)+\overrightarrow{a}}{4}\\ & =& \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}\\ & =& 0,25(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\end{array}$ 

Dengan demikian, terbukti bahwa $\overrightarrow{g}=0,25(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ pada arah $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ benar diwakili oleh vektor .

Ingat!

• Jika koordinat titik $\mathrm{A}\left(x_1,y_1\right)$ dan $\mathrm{B}\left(x_2,y_2\right)$ maka dapat ditetapkan:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)$

• Misalkan vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $\overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ ditentukan oleh:

$\overrightarrow{c}=\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\right)\overrightarrow{b}$  

• Rumus untuk menentukan panjang vektor $\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ adalah sebagai  berikut:

$\left|\overrightarrow{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ 

• Rumus untuk menentukan hasil kali $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ jika diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ adalah sebagai berikut:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 

• Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ adalah sebagai berikut:

$m\overrightarrow{a}=m\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m{x}_1\\ m{x}_2\end{array}\right)$ 

Diketahui:

Titik sudut $\mathrm{A}\left(4,-3,2\right)$

Titik sudut $\mathrm{B}\left(2,-2,6\right)$

Titik sudut $\mathrm{C}\left(3,4,5\right)$.

Ditanya:

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{AC}$ pada arah $\overrightarrow{BC}$ diwakili oleh vektor $\hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}$.

Jawab: 

Ruas garis berarah $\overrightarrow{AC}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AC}& =& \left(\begin{array}{c}3-4\\ 4+3\\ 5-2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Ruas garis berarah $\overrightarrow{BC}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BC}& =& \left(\begin{array}{c}3-2\\ 4+2\\ 5-6\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -1\end{array}\right)\end{array}$ 

Jadi, proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{AC}$ pada arah $\overrightarrow{BC}$ adalah 

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{c}& =& \left(\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}{{\left|\overrightarrow{BC}\right|}^2}\right)\overrightarrow{BC}\\ \hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}& =& \left(\frac{-1\times 1+7\times 6+3\times \left(-1\right)}{{\left(\sqrt{1^2+6^2+{\left(-1\right)}^2}\right)}^2}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -1\end{array}\right)\\ \hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}& =& \frac{-1+42-3}{{\left(\sqrt{1+36+1}\right)}^2}\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -1\end{array}\right)\\ \hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}& =& \frac{38}{38}\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -1\end{array}\right)\\ \hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}& =& \hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}\end{array}$

Dengan demikian, terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{AC}$ pada arah $\overrightarrow{BC}$ benar diwakili oleh vektor $\hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}$.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ pada arah $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ benar diwakili oleh vektor .

Ingat!

• Jika koordinat titik $\mathrm{A}\left(x_1,y_1\right)$ dan $\mathrm{B}\left(x_2,y_2\right)$ maka dapat ditetapkan:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)$

• Misalkan vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $\overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ ditentukan oleh:

$\overrightarrow{c}=\left(\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\right)\overrightarrow{b}$  

• Rumus untuk menentukan panjang vektor $\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ adalah sebagai  berikut:

$\left|\overrightarrow{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ 

• Rumus untuk menentukan hasil kali $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ jika diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ adalah sebagai berikut:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 

• Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ adalah sebagai berikut:

$m\overrightarrow{a}=m\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m{x}_1\\ m{x}_2\end{array}\right)$ 

Diketahui:

Titik sudut $\mathrm{A}\left(4,-3,2\right)$

Titik sudut $\mathrm{B}\left(2,-2,6\right)$

Titik sudut $\mathrm{C}\left(3,4,5\right)$.

Ditanya:

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ diwakili oleh vektor $2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}$.

Jawab: 

Ruas garis berarah $\overrightarrow{CA}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{CA}& =& \left(\begin{array}{c}4-3\\ -3-4\\ 2-5\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -3\end{array}\right)\end{array}$

Ruas garis berarah $\overrightarrow{BA}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BA}& =& \left(\begin{array}{c}4-2\\ -3+2\\ 2-6\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)\end{array}$ 

Jadi, proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ adalah 

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{c}& =& \left(\frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}}{{\left|\overrightarrow{BA}\right|}^2}\right)\overrightarrow{BA}\\ 2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}& =& \left(\frac{1\times 2+\left(-7\right)\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times \left(-4\right)}{{\left(\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}\right)}^2}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)\\ 2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}& =& \frac{2+7+12}{{\left(\sqrt{4+1+16}\right)}^2}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)\\ 2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}& =& \frac{21}{21}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)\\ 2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}& =& 2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}\\ & & \end{array}$

Dengan demikian, terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ benar diwakili oleh vektor $2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}$.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut.

a. Titik A, B, C merupakan titik sudut segitiga sama sisi ABC.

b. Luas segitiga ABC adalah $18\sqrt{3}$ satuan luas.

Misalkan diketahui titik $\text{P}\left(x_1,y_1,z_1\right)$ dan $Q\left(x_2,y_2,z_2\right)$. Jika $d$ menyatakan jarak antara titik $\text{P}$ dengan titik $\text{Q}$ dalam ruang, maka $d$ dapat ditentukan dengan rumus:

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$

a. Akan ditunjukkan bahwa segitiga $\text{ABC}$ sama sisi.

• Jarak titik $\text{A}\left(4,2,4\right)$ dan $\text{B}\left(10,2,-2\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(10-4\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2+{\left(-2-4\right)}^2}\\ & =& \sqrt{36+0+36}\\ & =& \sqrt{72}\\ & =& 6\sqrt{2}\end{array}$

• Jarak titik $\text{B}\left(10,2,-2\right)$ dan $\text{C}\left(2,0,-4\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{BC}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(2-10\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(-4+2\right)}^2}\\ & =& \sqrt{64+4+4}\\ & =& \sqrt{72}\\ & =& 6\sqrt{2}\end{array}$

• Jarak titik $\text{A}\left(4,2,4\right)$ dan $\text{C}\left(2,0,-4\right)$

$\begin{array}{rcl}\text{AC}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(2-4\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(-4-4\right)}^2}\\ & =& \sqrt{4+4+64}\\ & =& \sqrt{72}\\ & =& 6\sqrt{2}\end{array}$

Karena $\text{AB}=\text{BC}=\text{AC}$ sehingga segitiga $\text{ABC}$ merupakan segitiga sama sisi.

b. Luas segitiga $\text{ABC}$ dapat ditentukan sebagai berikut.

Tinggi segitiga tersebut adalah sebagai berikut.

$\begin{array}{rcl}t& =& \sqrt{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{72-18}\\ & =& \sqrt{54}\\ & =& 3\sqrt{6}\end{array}$

Luas segitiga $\text{ABC}$, yaitu:

$\begin{array}{rcl}\text{L}& =& \frac{1}{2}\times a\times t\\ & =& \frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3\sqrt{6}\\ & =& 9\sqrt{12}\\ & =& 9\times 2\sqrt{3}\\ & =& 18\sqrt{3}\end{array}$

Dengan demikian, segitiga sama sisi $\text{ABC}$ mempunyai luas $18\sqrt{3}$ satuan luas.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut.

a. $\text{AB}=\sqrt{133}$, $\text{BC}=9$, dan $\text{AC}=\sqrt{14}$ 

b. $\begin{array}{rcl}\text{K}& =& \sqrt{133}+9+\sqrt{14}\end{array}$ 

Misalkan diketahui titik $\text{P}\left(x_1,y_1,z_1\right)$ dan $Q\left(x_2,y_2,z_2\right)$. Jika $d$ menyatakan jarak antara titik $\text{P}$ dengan titik $\text{Q}$ dalam ruang, maka $d$ dapat ditentukan dengan rumus:

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$

a. Panjang $\text{AB}$, $\text{BC}$, dan $\text{AC}$ dapat ditentukan sebagai berikut.

• Jarak titik $\text{A}\left(-4,-1,-1\right)$ dan $\text{B}\left(5,5,3\right)$

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(5+4\right)}^2+{\left(5+1\right)}^2+{\left(3+1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{81+36+16}\\ & =& \sqrt{133}\end{array}$

• Jarak titik $\text{B}\left(5,5,3\right)$ dan $\text{C}\left(-3,1,2\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{BC}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(-3-5\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}\\ & =& \sqrt{64+16+1}\\ & =& \sqrt{81}\\ & =& 9\end{array}$

• Jarak titik $\text{A}\left(-4,-1,-1\right)$ dan $\text{C}\left(-3,1,2\right)$

$\begin{array}{rcl}\text{AC}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(-3+4\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{1+4+9}\\ & =& \sqrt{14}\end{array}$

b. Keliling segitiga $\text{ABC}$ adalah sebagai berikut.

$\begin{array}{rcl}\text{K}& =& \text{AB}+\text{BC}+\text{AC}\\ & =& \sqrt{133}+9+\sqrt{14}\end{array}$

Dengan demikian, diperoleh panjang $\text{AB}=\sqrt{133}$, $\text{BC}=9$, $\text{AC}=\sqrt{14}$, dan keliling $\begin{array}{rcl}\text{K}& =& \sqrt{133}+9+\sqrt{14}\end{array}$ 

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut.

d. $\text{AB}=\sqrt{83}$ 

e. $\text{AB}=3$ 

f. $\text{AB}=\sqrt{38}$

Misalkan diketahui titik $\text{P}\left(x_1,y_1,z_1\right)$ dan $Q\left(x_2,y_2,z_2\right)$. Jika $d$ menyatakan jarak antara titik $\text{P}$ dengan titik $\text{Q}$ dalam ruang, maka $d$ dapat ditentukan dengan rumus:

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$

d. Jarak titik $\text{A}\left(-1,3,2\right)$ dan $\text{B}\left(4,0,-5\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(4+1\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2+{\left(-5-2\right)}^2}\\ & =& \sqrt{25+9+49}\\ & =& \sqrt{83}\end{array}$

e. Jarak titik $\text{A}\left(\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)$ dan $\text{B}\left(0,2,0\right)$

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(0-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2+{\left(0-\sqrt{3}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{2+4+3}\\ & =& \sqrt{9}\\ & =& 3\end{array}$

f. Jarak titik $\text{A}\left(-3,2,1\right)$ dan $\text{B}\left(2,5,3\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(2+3\right)}^2+{\left(5-2\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{25+9+4}\\ & =& \sqrt{38}\end{array}$

Dengan demikian, diperoleh jarak d. $\text{AB}=\sqrt{83}$, e. $\text{AB}=3$, dan f. $\text{AB}=\sqrt{38}$ 

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut.

a. $\text{OB}=11$ 

b. $\text{AB}=3\sqrt{10}$

c. $\text{AB}=7$ 

Misalkan diketahui titik $\text{P}\left(x_1,y_1,z_1\right)$ dan $Q\left(x_2,y_2,z_2\right)$. Jika $d$ menyatakan jarak antara titik $\text{P}$ dengan titik $\text{Q}$ dalam ruang, maka $d$ dapat ditentukan dengan rumus:

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}$

a. Jarak titik $\text{O}\left(0,0,0\right)$ dan $\text{B}\left(6,-2,9\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{OB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(6-0\right)}^2+{\left(-2-0\right)}^2+{\left(9-0\right)}^2}\\ & =& \sqrt{36+4+81}\\ & =& \sqrt{121}\\ & =& 11\end{array}$

b. Jarak titik $\text{A}\left(6,-2,0\right)$ dan $\text{B}\left(2,3,7\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(2-6\right)}^2+{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(7-0\right)}^2}\\ & =& \sqrt{16+25+49}\\ & =& \sqrt{90}\\ & =& 3\sqrt{10}\end{array}$

c. Jarak titik $\text{A}\left(0,3,0\right)$ dan $\text{B}\left(6,0,2\right)$ 

$\begin{array}{rcl}\text{AB}& =& \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{{\left(6-0\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}\\ & =& \sqrt{36+9+4}\\ & =& \sqrt{49}\\ & =& 7\end{array}$

Dengan demikian, diperoleh jarak $\begin{array}{rcl}\text{OB}& =& 11\end{array}$, $\text{AB}=3\sqrt{10}$, dan $\text{AB}=7$ 

Jawaban yang benar untuk pertanyaan masing-masing tersebut adalah sebagai berikut.

a. Vektor $\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

b. $\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{p}\right|& =& \sqrt{29}\end{array}$

c. $\begin{array}{rcl}\hat{e}& =& \left(\begin{array}{c}\frac{2}{29}\sqrt{29}\\ \frac{5}{29}\sqrt{29}\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Misalkan diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)$ dan vektor $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$. Penjumlahan dua vektor tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a+x_b\\ y_a+y_b\\ z_a+z_b\end{array}\right)$

Panjang atau besar vektor $\overrightarrow{a}$ ditentukan dengan rumus:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$

Vektor satuan dari $a$