Pertanyaan

Untuk setiap bilangan bulat positif n , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. b. { n ( n + 1 ) } 2 habis dibagi 4

Untuk setiap bilangan bulat positif $n$ , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut.

b. ${n (n + 1)}^{2}$ habis dibagi $4$

Y. Fathoni

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta.

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa habis dibagi .

terbukti bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style

begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style

habis dibagi

Pembahasan

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan yang memenuhi dua kondisi berikut: adalah benar (dibuktikan). Jika dianggap benar untuk setiap bilangan asli , maka harus dibuktikan juga benar. Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan benar untuk setiap bilangan . Akan dibuktikan bahwa habis dibagi , untuk setiap bilangan bulat positif . Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut. Misalkan . Langkah pertama: Diperoleh, habis dibagi (benar). Langkah kedua: Anggap benar, yaitu Akan dibuktikan bahwa , berarti , yaitu habis dibagi . Perhatikan perhitungan berikut. Oleh karena , , dan ,habis dibagi , maka habis dibagi 4 (benar). Diperoleh, langkah pertama habis dibagi (benar), dan langkah kedua habis dibagi 4 (benar). Dengan demikian, terbukti bahwa habis dibagi .

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan P subscript n yang memenuhi dua kondisi berikut:

adalah benar (dibuktikan).
Jika dianggap benar untuk setiap bilangan asli , maka harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan P subscript n benar untuk setiap bilangan .

Akan dibuktikan bahwa habis dibagi , untuk setiap bilangan bulat positif .

Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut.

Misalkan P subscript n equals open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared .

Langkah pertama:

Diperoleh, P subscript 1 habis dibagi (benar).

Langkah kedua:

Anggap P subscript k benar, yaitu

P subscript k equals open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared space space habis space dibagi space 4

Akan dibuktikan bahwa P subscript k plus 1 end subscript , berarti n equals k plus 1 , yaitu habis dibagi .

Perhatikan perhitungan berikut.

Oleh karena open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared , 4 k open parentheses k plus 1 close parentheses squared , dan 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared , habis dibagi , maka P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Diperoleh, langkah pertama P subscript 1 habis dibagi (benar), dan langkah kedua P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Dengan demikian, terbukti bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut P n : 5 2 n − 1 + 1 habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 6 n + 4 habis dibagi 10 .

3.8

Jawaban terverifikasi

Prove that, if n is positive integer, 5 2 n + 1 2 n − 1 is divisible by 13 .

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan bulat positif n, buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. a. n ( n + 1 ) ( n + 2 ) habis dibagi 6

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk n bilangan bulat positif, buktikan kebenaran pernyataan, 3 n − 1 habis dibagi 2 .