Roboguru

Buktikan bahwa  merupakan faktor dari ekspresi n(n4−1) untuk semua bilangan asli .

Pertanyaan

Buktikan bahwa begin mathsize 14px style 5 end style merupakan faktor dari ekspresi n(n41) untuk semua bilangan asli begin mathsize 14px style n greater or equal than 2 end style.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 2, pernyataan tersebut benar.

2(241)=30 

30 habis dibagi 5, sehingga pernyataan benar untuk untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

k(k41) 

3. Buktikan untuk bilangan asli n=k+1 pernyataan tersebut juga benar. 

=====(k+1)((k+1)41)(k+1)5(k+1)k5+5k4+10k3+10k2+5k1k1k5+5k4+10k3+10k2+4kk5k+5(k4+2k3+2k2+k)habisdibagi5k(k1)+habisdibagi55(k4+2k3+2k2+k) 

Dengan demikian, begin mathsize 14px style 5 end style merupakan faktor dari ekspresi n(n41) untuk semua bilangan asli begin mathsize 14px style n greater or equal than 2 end style.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli .  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Untuk n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight n plus 3 end cell equals cell 5 to the power of 1 plus 3 end cell row blank equals cell 5 plus 3 end cell row blank equals cell 8 space habis space dibagi space 4 end cell end table

Untuk n = k maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 3 end cell equals cell 4 straight m rightwards arrow bilangan space asli space end cell row cell 5 to the power of straight k end cell equals cell 4 straight m minus 3 end cell row blank blank blank end table

Sedangkan untuk n = k+1 subsitusi nilai dari hasil n = k

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 3 end cell equals cell 5 to the power of straight k.5 to the power of 1 plus 3 end cell row blank equals cell left parenthesis 4 straight m minus 3 right parenthesis.5 plus 3 end cell row blank equals cell 20 straight m minus 15 plus 3 end cell row blank equals cell 20 straight m minus 12 end cell row blank equals cell 4 left parenthesis 5 straight m minus 3 right parenthesis rightwards arrow habis space di space bagi space 4 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa 5 to the power of straight n plus 3 habis di bagi 4

 

 

Roboguru

Buktikan bahwa untuk  bilangan asli, selalu 52n+2−24n−25 habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

  1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
  2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.
  3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

Maka:

Langkah 1: 

Untuk n equals 1, maka

P(1)====52(1)+224(1)255424256252425576  

576 habis dibagi 576, sehingga P subscript n benar untuk n equals 1.

Langkah 2:

Andaikan untuk n equals k pernyataan tersebut benar, maka P(n)=52n+224n25 habis dibagi 576, sehingga:

P(k)=52k+224k25  

Langkah 3:

Untuk n equals k plus 1, maka

P(k+1)========52(k+1)+224(k+1)2552k+2+224k24255252k+224k25242552k+224k25242552k+224k2524576k+576k600+6002552k+2600k625+576k+6002425habisdibagi576(52k+224k25)+576k+57625habisdibagi576(52k+224k25)+habisdibagi576576(k+1)       

Dengan demikian, 52n+224n25 habis dibagi 576 untuk semua bilangan asli n.

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n.  adalah faktor dari

Pembahasan Soal:

Membuktikan dengan induksi matematika

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell 1 cubed plus 2.1 end cell row blank equals cell 1 plus 2 end cell row blank equals cell 3 rightwards arrow Faktor space 3 end cell end table

Untuk n = k diasumsikan bahwa faktor 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell straight k cubed plus 2. straight k end cell row blank equals cell straight k cubed plus 2 straight k rightwards arrow Faktor space 3 end cell row blank blank blank end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell open parentheses straight k plus 1 close parentheses cubed plus 2. left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis straight k squared plus 2 straight k plus 1 right parenthesis plus open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 2 straight k plus 2 end cell row blank equals cell straight k cubed plus straight k squared plus 2 straight k squared plus 2 straight k plus straight k plus 1 plus 2 straight k plus 2 end cell row blank equals cell open parentheses straight k cubed plus 2 straight k close parentheses plus 3 open parentheses straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses rightwards arrow Faktor space 3 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa begin mathsize 14px style 3 end style adalah faktor dari straight n cubed plus 2 straight n karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses straight k cubed plus 2 straight k close parentheses space dan space 3 open parentheses straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses end cell row blank blank blank end table

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n.  adalah faktor dari

Pembahasan Soal:

Membuktikan dengan induksi matematika dimana

Untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell equals cell 2 to the power of 2.1 plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2.1 plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 2 cubed plus 3 cubed end cell row blank equals cell 8 plus 27 end cell row blank equals cell 35 rightwards arrow Faktor space 5 end cell end table

Untuk n = k kita asumsikan faktor 5

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 2 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell row cell 2 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 5 straight p rightwards arrow faktor space 5 end cell row blank blank blank end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell equals cell 2 to the power of 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 2 to the power of 2 straight k plus 2 plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight k plus 2 plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 2 to the power of 2 straight k plus 3 end exponent plus 3 to the power of 2 straight k plus 3 end exponent end cell row blank equals cell 2 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.2 squared plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.3 squared end cell row blank equals cell 2 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.4 plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.4 minus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.4 plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.9 end cell row blank equals cell 4 left parenthesis 2 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent.3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent right parenthesis plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent left parenthesis negative 4 plus 9 right parenthesis end cell row blank equals cell 4.5 straight p plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 5 left parenthesis 4 straight p plus 3 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent right parenthesis rightwards arrow Faktor space 5 end cell row blank blank blank end table

Jadi untuk setiap bilangan asli n akan menghasilkan begin mathsize 14px style 5 end style adalah faktor dari 2 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus 3 to the power of 2 straight n plus 1 end exponent terbukti

Roboguru

Buktikan pernyataan di bawah ini benar. Untuk semua bilangan asli , bahwa  habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Dimana n dalam pernyataan diatas diubah dengan n bilangan asli seperti 1,2,3 maka

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 5 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 1 squared plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 1 open parentheses 1 plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 1 open parentheses 6 close parentheses end cell row blank equals cell 6 rightwards arrow habis space dibagi space 6 end cell end table

Untuk n = 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 5 close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses 2 squared plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 2 open parentheses 4 plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 2 open parentheses 9 close parentheses end cell row blank equals cell 18 rightwards arrow habis space dibagi space 6 end cell end table

Untuk n = 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 5 close parentheses end cell equals cell 3 open parentheses 3 squared plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 3 open parentheses 9 plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell 3 open parentheses 14 close parentheses end cell row blank equals cell 42 rightwards arrow habis space dibagi space 6 end cell end table

Jadi terbukti untuk semua bilangan asli straight n, bahwa straight n open parentheses straight n squared plus 5 close parentheses habis dibagi begin mathsize 14px style 6 end style karena diambil sampel bilangan asli 1,2,3 terbukti.

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved