Tunjukkanlah bahwa pusat-pusat berkas lingkaran yang melalui titik ( 3 , 2 ) dan ( 6 , 3 ) terletak pada garis 3 x + y = 16 . Dua lingkaran di antara berkas lingkaran itu menyinggung garis x + 2 y = 2 . Tentukan pula koordinat titik singgungnya.

Pembahasan

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan berjari-jari r sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui lingkaran melalui titik ( 3 , 2 ) dan ( 6 , 3 ) , dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan ( x 1 ​ − a ) 2 + ( y 1 ​ − b ) 2 ( 3 − a ) 2 + ( 2 − b ) 2 a 2 − 6 a + 9 + b 2 − 4 b + 4 6 a + 2 b 3 a + b ​ = = = = = ​ ( x 2 ​ − a ) 2 + ( y 2 ​ − b ) 2 ( 6 − a ) 2 + ( 3 − b ) 2 a 2 − 12 a + 36 + b 2 − 6 b + 9 32 16... ( 1 ) ​ Diketahui titik pusat lingkaran berada pada garis 3 x + y = 16 , dengan mensubstitusikan titik pusat ke persamaan garis tersebut, diperoleh persamaan 3 a + b = 16... ( 2 ) . Diperoleh persamaan (1) sama dengan persamaan (2). Dengan demikian terdapat berkas-berkas lingkaran yang pusatnya memenuhi persamaan tersebut. Diketahui dua lingkaran di antara berkas lingkaran itu menyinggung garis x + 2 y = 2 . Panjang jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat ke garis singgung. Dengan rumus jarak titik ke garis, maka r r ​ = = ​ ∣ ∣ ​ 1 2 + 2 2 ​ a + 2 b − 2 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ a + 2 b − 2 ​ ∣ ∣ ​ ... ( 3 ) ​ selanjutnya dengan mensubstitusikan titik ( 3 , 2 ) , persamaan (1) dan persamaan (3) yang diperoleh ke persamaan umum lingkaran, maka ( x 1 ​ − a ) 2 + ( y 1 ​ − b ) 2 ( 3 − a ) 2 + ( 2 − ( 16 − 3 a ) ) 2 ( 3 − a ) 2 + ( − 14 + 3 a ) 2 a 2 − 6 a + 9 + 9 a 2 − 84 a + 196 10 a 2 − 90 a + 205 5 a 2 − 30 a + 25 a 2 − 6 a + 5 ( a − 1 ) ( a − 5 ) a 1 ​ ​ = = = = = = = = = ​ r 2 ∣ ∣ ​ 5 ​ a + 2 ( 16 − 3 a ) − 2 ​ ∣ ∣ ​ 2 5 ( − 5 a + 30 ) 2 ​ 5 25 a 2 − 300 a + 900 ​ 5 a 2 − 60 a + 180 0 0 0 1 atau a 2 ​ = 5 ​ jadi diperoleh b b 1 ​ b 2 ​ ​ = = = ​ 16 − 3 a 16 − 3 ( 1 ) = 13 → ( 1 , 13 ) 16 − 3 ( 5 ) = 1 → ( 5 , 1 ) ​ Substitusi kembali ke persaman (3) untuk memperoleh jari-jari lingkaran, r r 1 ​ r 2 ​ ​ = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ a + 2 b − 2 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 1 + 2 ( 13 ) − 2 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 25 ​ ∣ ∣ ​ 5 5 ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 5 + 2 ( 1 ) − 2 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 5 ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ ​ Dengan demikian, diperoleh persamaan kedua lingkaran ( i ) ( x − 1 ) 2 + ( y − 13 ) 2 x 2 + y 2 − 2 x − 26 y + 1 + 169 x 2 + y 2 − 2 x − 26 y + 45 ( ii ) ( x − 5 ) 2 + ( y − 1 ) 2 x 2 + y 2 − 10 x − 2 y + 25 + 1 x 2 + y 2 − 10 x − 2 y + 21 ​ = = = = = = ​ ( 5 5 ​ ) 2 125 0 ( 5 ​ ) 2 5 0 ​ Dengan menggambarkan kedua lingkaran tersebut, diperoleh Dengan demikian, diperoleh koordinat titik singgung nya adalah ( − 4 , 3 ) dan ( 4 , − 1 ) .