Pertanyaan

Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140. Jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20. Tentukan ketiga bilangan itu.

Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140. Jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20. Tentukan ketiga bilangan itu. $\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80.

diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80. $\;$

Pembahasan

Ingat! Jika adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah bilangan asli, maka rumus sukuke- n dari barisan geometri: U n = a r n − 1 Oleh karena tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140, maka dapat diperoleh U 1 + U 2 + U 3 a + a r + a r 2 a ( 1 + r + r 2 ) = = = 140 140 140 ⋯ ( 1 ) dan karena jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20, maka dapat diperoleh U 1 + U 3 U 1 + U 2 + U 3 140 3 U 2 3 U 2 U 2 U 2 a r a = = = = = = = = = 2 U 2 + 20 2 U 2 + U 2 + 20 3 U 2 + 20 140 − 20 120 3 120 40 40 r 40 ⋯ ( 2 ) Dengan substitusi (2) ke (1), diperoleh: r 40 ( 1 + r + r 2 ) = 140 40 ( 1 + r + r 2 ) = 140 r 40 + 40 r + 40 r 2 = 140 r 40 r 2 + 40 r − 140 r + 40 = 0 40 r 2 − 100 r + 40 = 0 2 r 2 − 5 r + 2 = 0 ( 2 r − 1 ) ( r − 2 ) = 0 2 r − 1 = 0 2 r = 1 r = 2 1 atau r − 2 = 0 r = 0 + 2 r = 2 Oleh karena itu, jika r = 2 1 , maka dengan substitusi ke (2) diperoleh: U 1 = = = = a 2 1 40 40 × 1 2 80 Diperoleh U 2 = a r = 80 ( 2 1 ) = 40 dan U 3 = a r 2 = 80 ( 2 1 ) 2 = 80 ( 4 1 ) = 20 . Kemudian, jika r = 2 , maka dengan subtitusi ke (2) diperoleh: U 1 = = = a 2 40 20 Diperoleh U 2 = a r = 20 ( 2 ) = 40 dan U 3 = a r 2 = 20 ( 2 ) 2 = 20 ( 4 ) = 80 . Dengan demikian, diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80.

Ingat!

Jika $a$ adalah suku pertama, $r$ adalah rasio, dan $n$ adalah bilangan asli, maka rumus suku ke- $n$ dari barisan geometri:

$U_{n} = a r^{n - 1}$

Oleh karena tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140, maka dapat diperoleh

$U_{1} + U_{2} + U_{3} a + a r + a r^{2} a (1 + r + r^{2}) = = = 140140 140 \dots (1)$

dan karena jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20, maka dapat diperoleh

$U_{1} + U_{3} U_{1} + U_{2} + U_{3} 140 3 U_{2} 3 U_{2} U_{2} U_{2} a r a = = = = = = = = = 2 U_{2} + 20 2 U_{2} + U_{2} + 20 3 U_{2} + 20 140 - 20 120 \frac{120}{3} 4040 \frac{40}{r} \dots (2)$

Dengan substitusi (2) ke (1), diperoleh:

$\frac{40}{r} (1 + r + r^{2}) = 140 40 (1 + r + r^{2}) = 140 r 40 + 40 r + 40 r^{2} = 140 r 40 r^{2} + 40 r - 140 r + 40 = 0 40 r^{2} - 100 r + 40 = 0 2 r^{2} - 5 r + 2 = 0 (2 r - 1) (r - 2) = 0 2 r - 1 = 0 2 r = 1 r = \frac{1}{2} atau r - 2 = 0 r = 0 + 2 r = 2$

Oleh karena itu, jika $r = \frac{1}{2}$ , maka dengan substitusi ke (2) diperoleh:

$U_{1} = = = = a \frac{40}{\frac{1}{2}} 40 \times \frac{2}{1} 80$

Diperoleh $U_{2} = a r = 80 (\frac{1}{2}) = 40$ dan $U_{3} = a r^{2} = 80 (\frac{1}{2})^{2} = 80 (\frac{1}{4}) = 20$ .

Kemudian, jika $r = 2$ , maka dengan subtitusi ke (2) diperoleh:

$U_{1} = = = a \frac{40}{2} 20$

Diperoleh $U_{2} = a r = 20 (2) = 40$ dan $U_{3} = a r^{2} = 20 (2)^{2} = 20 (4) = 80$ .

Dengan demikian, diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80. $\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Jumlah n suku dari bilangan yang membentuk barisan geometri adalah 254 . Jika suku ke − 4 sama dengan 16 dan suku ke − 7 sama dengan 128 . Tentukan suku-suku dari barisan tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Suatu barisan geometri suku ke- 3 adalah a − 4 dan suku ke- 4 adalah a x . Suku ke- 10 adalah a 52 maka x = …

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui barisan aritmetika U 1 , U 2 , ... barisan geometri V 1 , V 2 , .... a. Jika p , q dan r adalah bulangan asli sehingga p = 2 q + r buktikan bahwa U p = 2 U q + U r dan V...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui suatu deret geometri dengan S 2 = 15 dan S 4 = 75 . Tentukan rumus suku ke- n deret tersebut, kemudian hitung jumlah 10 suku pertamanya.

4.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui barisan geometri dengan suku ke- 3 = 21 dan suku ke- 6 = 168 . Suku ke- 8 barisan tersebut = …

4.8

Jawaban terverifikasi