Pertanyaan

Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140. Jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20. Tentukan ketiga bilangan itu.

Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140. Jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20. Tentukan ketiga bilangan itu. $\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80.

diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80. $\;$

Pembahasan

Ingat! Jika adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah bilangan asli, maka rumus sukuke- n dari barisan geometri: U n = a r n − 1 Oleh karena tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140, maka dapat diperoleh U 1 + U 2 + U 3 a + a r + a r 2 a ( 1 + r + r 2 ) = = = 140 140 140 ⋯ ( 1 ) dan karena jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20, maka dapat diperoleh U 1 + U 3 U 1 + U 2 + U 3 140 3 U 2 3 U 2 U 2 U 2 a r a = = = = = = = = = 2 U 2 + 20 2 U 2 + U 2 + 20 3 U 2 + 20 140 − 20 120 3 120 40 40 r 40 ⋯ ( 2 ) Dengan substitusi (2) ke (1), diperoleh: r 40 ( 1 + r + r 2 ) = 140 40 ( 1 + r + r 2 ) = 140 r 40 + 40 r + 40 r 2 = 140 r 40 r 2 + 40 r − 140 r + 40 = 0 40 r 2 − 100 r + 40 = 0 2 r 2 − 5 r + 2 = 0 ( 2 r − 1 ) ( r − 2 ) = 0 2 r − 1 = 0 2 r = 1 r = 2 1 atau r − 2 = 0 r = 0 + 2 r = 2 Oleh karena itu, jika r = 2 1 , maka dengan substitusi ke (2) diperoleh: U 1 = = = = a 2 1 40 40 × 1 2 80 Diperoleh U 2 = a r = 80 ( 2 1 ) = 40 dan U 3 = a r 2 = 80 ( 2 1 ) 2 = 80 ( 4 1 ) = 20 . Kemudian, jika r = 2 , maka dengan subtitusi ke (2) diperoleh: U 1 = = = a 2 40 20 Diperoleh U 2 = a r = 20 ( 2 ) = 40 dan U 3 = a r 2 = 20 ( 2 ) 2 = 20 ( 4 ) = 80 . Dengan demikian, diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80.

Ingat!

Jika $a$ adalah suku pertama, $r$ adalah rasio, dan $n$ adalah bilangan asli, maka rumus suku ke- $n$ dari barisan geometri:

$U_{n} = a r^{n - 1}$

Oleh karena tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah = 140, maka dapat diperoleh

$U_{1} + U_{2} + U_{3} a + a r + a r^{2} a (1 + r + r^{2}) = = = 140140 140 \dots (1)$

dan karena jumlah suku pertama dan suku ke-3 = dua kali suku ke-2 ditambah 20, maka dapat diperoleh

$U_{1} + U_{3} U_{1} + U_{2} + U_{3} 140 3 U_{2} 3 U_{2} U_{2} U_{2} a r a = = = = = = = = = 2 U_{2} + 20 2 U_{2} + U_{2} + 20 3 U_{2} + 20 140 - 20 120 \frac{120}{3} 4040 \frac{40}{r} \dots (2)$

Dengan substitusi (2) ke (1), diperoleh:

$\frac{40}{r} (1 + r + r^{2}) = 140 40 (1 + r + r^{2}) = 140 r 40 + 40 r + 40 r^{2} = 140 r 40 r^{2} + 40 r - 140 r + 40 = 0 40 r^{2} - 100 r + 40 = 0 2 r^{2} - 5 r + 2 = 0 (2 r - 1) (r - 2) = 0 2 r - 1 = 0 2 r = 1 r = \frac{1}{2} atau r - 2 = 0 r = 0 + 2 r = 2$

Oleh karena itu, jika $r = \frac{1}{2}$ , maka dengan substitusi ke (2) diperoleh:

$U_{1} = = = = a \frac{40}{\frac{1}{2}} 40 \times \frac{2}{1} 80$

Diperoleh $U_{2} = a r = 80 (\frac{1}{2}) = 40$ dan $U_{3} = a r^{2} = 80 (\frac{1}{2})^{2} = 80 (\frac{1}{4}) = 20$ .

Kemudian, jika $r = 2$ , maka dengan subtitusi ke (2) diperoleh:

$U_{1} = = = a \frac{40}{2} 20$

Diperoleh $U_{2} = a r = 20 (2) = 40$ dan $U_{3} = a r^{2} = 20 (2)^{2} = 20 (4) = 80$ .

Dengan demikian, diperoleh ketiga bilangan tersebut, secara berurutan, adalah 80, 40, dan 20 atau 20, 40, dan 80. $\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Dalam suatu deret geometri diketahui bahwa S n = 150 , S n + 1 = 155 , dan S n + 2 = 157 , 5 . Dimana S n merupakan jumlah n suku pertama, maka suku keempat deret tersebut adalah ....

4.5

Jawaban terverifikasi

Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384 . Suku keempat barisan tersebut adalah ....

4.7

Jawaban terverifikasi

Jika ( a + 2 ) , ( a − 1 ) , ( a − 7 ) , ... membentuk barisan geometri, maka rasionya adalah ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Pada suatu barisan geometri, jumlah suku ke- 4 dan ke- 6 sama dengan 30 . Sementara suku ke-3 sama dengan 3 . Suku ke- 8 = …

4.5

Jawaban terverifikasi

Pada suatu barisan geometri diketahui: U 3 + U 5 = 25 dan U 4 + U 6 = 12 , 5 . Dengan demikian U 3 sama dengan …