Pertanyaan

Diketahui barisan aritmetika U 1 , U 2 , ... barisan geometri V 1 , V 2 , .... a. Jika p , q dan r adalah bulangan asli sehingga p = 2 q + r buktikan bahwa U p = 2 U q + U r dan V p = V q V r b.Diketahui U 7 = 13 dan U 10 = 19 . Tentukan U 13 . c.Diketahui V 7 = 72 dan V 13 = 2.592. Tentukan V 10 .

Diketahui barisan aritmetika $U_{1}, U_{2}, ...$ barisan geometri $V_{1}, V_{2}, ....$

a. Jika $p, q dan r$ adalah bulangan asli sehingga $p = \frac{q + r}{2}$ buktikan bahwa $U_{p} = \frac{U _{q} + U _{r}}{2} dan V_{p} = V_{q} V_{r}$

b. Diketahui $U_{7} = 13 dan U_{10} = 19$ . Tentukan $U_{13} .$

c. Diketahui $V_{7} = 72 dan V_{13} = 2.592.$ Tentukan $V_{10}$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sriwijaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

a. Terbukti bahwa U p = 2 U q + U r dan V p = V q V r ; b. U 13 = 25 ; c. V 10 = 432 .

a. Terbukti bahwa

U_{p} = \frac{U _{q} + U _{r}}{2} dan V_{p} = V_{q} V_{r}

; b.

U_{13} = 25

; c.

V_{10} = 432

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. Terbukti bahwa U p = 2 U q + U r dan V p = V q V r ; b. U 13 = 25 ; c. V 10 = 432 . Ingat: Rumus suku ke- n barisan aritmatika dengan suku awal dan beda b yaitu U n = a + ( n − 1 ) b Rumussuku ke- n barisan geometridengan suku awal dan rasio r yaitu U n = a r n − 1 Sifat bilangan berpangkat: a. Diketahui p = 2 q + r Akan dibuktikan U p = 2 U q + U r U p , U q , U r adalah barisan aritmatika, sehingga U p U q U r = = = a + ( p − 1 ) b a + ( q − 1 ) b a + ( r − 1 ) b Kita peroleh U p a + ( p − 1 ) b a + ( 2 q + r − 1 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b = = = = = = = = 2 U q + U r 2 { a + ( q − 1 ) b } + { a + ( r − 1 ) b } 2 2 a + ( q − 1 ) b + ( r − 1 ) b 2 2 a + { ( q − 1 ) + ( r − 1 ) } b 2 2 a + 2 { ( q − 1 ) + ( r − 1 ) } b a + 2 ( q − 1 + r − 1 ) b a + 2 ( q + r − 2 ) b a + ( 2 q + r − 2 ) b Karena ruas kanan dan kiri sama, makapernyataan di atas terbukti. Akan dibuktikan V p = V q V r V p , V q , V r adalah barisan geometri, sehingga V p V q V r = = = a r p − 1 a r q − 1 a r r − 1 Kita peroleh V p ( V p ) 2 ( V p ) 2 ( a r p − 1 ) 2 a 2 r 2 p − 2 r 2 p − 2 r 2 ( 2 q + r ) − 2 r q + r − 2 = = = = = = = = V q V r ( V q V r ) 2 V q V r a r q − 1 ⋅ a r r − 1 a 2 r q − 1 + r − 1 r q + r − 2 r q + r − 2 r q + r − 2 Karena ruas kanan dan kiri sama, maka pernyataan di atas terbukti. b.Diketahui U 7 = 13 dan U 10 = 19 , sehingga U 7 13 a = = = a + ( 7 − 1 ) b a + 6 b 13 − 6 b ..... ( i ) Substitusi persamaan ( i ) ke U 10 = 19 U 10 19 19 19 3 b 3 b b = = = = = = = a + ( 10 − 1 ) b a + 9 b ( 13 − 6 b ) + 9 b 13 + 3 b 19 − 13 6 2 Substitusi b = 2 ke persamaan ( i ) a = = = = 13 − 6 b 13 − 6 ( 2 ) 13 − 12 1 Akibatnya kita peroleh U 13 = = = = a + ( 13 − 1 ) b 1 + 12 ⋅ 2 1 + 24 25 c.Diketahui V 7 = 72 dan V 13 = 2.592. sehingga V 7 V 13 72 2.592 36 36 = = = = a r 7 − 1 a r 13 − 1 a r 6 a r 12 r 6 r 12 r 6 Kita peroleh U 7 : a r 6 a ( 36 ) a a = = = = 72 72 36 72 2 Jadi V 10 = = = = = = = = = = a r 10 − 1 a r 9 a ( r 6 ⋅ r 3 ) a ( r 6 ⋅ r 2 6 ) a ( r 6 ( r 6 ) 2 1 ) a ( r 6 r 6 ) 2 ( 36 36 ) 2 ( 36 ⋅ 6 ) 2 ( 216 ) 432 Dengan demikian, a. Terbukti bahwa U p = 2 U q + U r dan V p = V q V r ; b. U 13 = 25 ; c. V 10 = 432 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. Terbukti bahwa $U_{p} = \frac{U _{q} + U _{r}}{2} dan V_{p} = V_{q} V_{r}$ ; b. $U_{13} = 25$ ; c. $V_{10} = 432$ .

Ingat:

Rumus suku ke- $n$ barisan aritmatika dengan suku awal $a$ dan beda $b$ yaitu

$U_{n} = a + (n - 1) b$

Rumus suku ke- $n$ barisan geometri dengan suku awal $a$ dan rasio $r$ yaitu

$U_{n} = a r^{n - 1}$

Sifat bilangan berpangkat:

open parentheses a to the power of m close parentheses to the power of n equals a to the power of m n end exponent a to the power of m cross times a to the power of n equals a to the power of m plus n end exponent a to the power of m over a to the power of n equals a to the power of m minus n end exponent

a. Diketahui $p = \frac{q + r}{2}$

Akan dibuktikan $U_{p} = \frac{U _{q} + U _{r}}{2}$

$U_{p}, U_{q}, U_{r}$ adalah barisan aritmatika, sehingga

$U_{p} U_{q} U_{r} = = = a + (p - 1) b a + (q - 1) b a + (r - 1) b$

Kita peroleh

$U_{p} a + (p - 1) b a + (\frac{q + r}{2} - 1) b a + (\frac{q + r - 2}{2}) b a + (\frac{q + r - 2}{2}) b a + (\frac{q + r - 2}{2}) b a + (\frac{q + r - 2}{2}) b a + (\frac{q + r - 2}{2}) b = = = = = = = = \frac{U _{q} + U _{r}}{2} \frac{{ a + ( q - 1 ) b } + { a + ( r - 1 ) b }}{2} \frac{2 a + ( q - 1 ) b + ( r - 1 ) b}{2} \frac{2 a + { ( q - 1 ) + ( r - 1 ) } b}{2} \frac{2 a}{2} + \frac{{ ( q - 1 ) + ( r - 1 ) } b}{2} a + \frac{( q - 1 + r - 1 ) b}{2} a + \frac{( q + r - 2 ) b}{2} a + (\frac{q + r - 2}{2}) b$

Karena ruas kanan dan kiri sama, maka pernyataan di atas terbukti.

Akan dibuktikan $V_{p} = V_{q} V_{r}$

$V_{p}, V_{q}, V_{r}$ adalah barisan geometri, sehingga

$V_{p} V_{q} V_{r} = = = a r^{p - 1} a r^{q - 1} a r^{r - 1}$

Kita peroleh

$V_{p} (V_{p})^{2} (V_{p})^{2} (a r^{p - 1})^{2} a^{2} r^{2 p - 2} r^{2 p - 2} r^{2 (\frac{q + r}{2}) - 2} r^{q + r - 2} = = = = = = = = V_{q} V_{r} (V_{q} V_{r})^{2} V_{q} V_{r} a r^{q - 1} \cdot a r^{r - 1} a^{2} r^{q - 1 + r - 1} r^{q + r - 2} r^{q + r - 2} r^{q + r - 2}$

Karena ruas kanan dan kiri sama, maka pernyataan di atas terbukti.

b. Diketahui $U_{7} = 13 dan U_{10} = 19$ , sehingga

$U_{7} 13 a = = = a + (7 - 1) b a + 6 b 13 - 6 b ..... (i)$

Substitusi persamaan $(i)$ ke $U_{10} = 19$

$U_{10} 191919 3 b 3 b b = = = = = = = a + (10 - 1) b a + 9 b (13 - 6 b) + 9 b 13 + 3 b 19 - 13 62$

Substitusi $b = 2$ ke persamaan $(i)$

$a = = = = 13 - 6 b 13 - 6 (2) 13 - 12 1$

Akibatnya kita peroleh

$U_{13} = = = = a + (13 - 1) b 1 + 12 \cdot 2 1 + 24 25$

c. Diketahui $V_{7} = 72 dan V_{13} = 2.592.$ sehingga

$\frac{V _{13}}{V _{7}} \frac{2.592}{72} 3636 = = = = \frac{a r ^{13 - 1}}{a r ^{7 - 1}} \frac{a r ^{12}}{a r ^{6}} \frac{r ^{12}}{r ^{6}} r^{6}$

Kita peroleh

$U_{7} : a r^{6} a (36) a a = = = = 7272 \frac{72}{36} 2$

Jadi

$V_{10} = = = = = = = = = = a r^{10 - 1} a r^{9} a (r^{6} \cdot r^{3}) a (r^{6} \cdot r^{\frac{6}{2}}) a (r^{6} (r^{6})^{\frac{1}{2}}) a (r^{6} r^{6}) 2 (3636) 2 (36 \cdot 6) 2 (216) 432$