Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A ( 6 , 3 ) dan menyinggung sumbu X pada titik B ( 2 , 0 ) .

Pembahasan

Ingat beberapa konsep berikut. Bentuk umum persamaan lingkaran yang melalui titik pusat ( a , b ) dan berjari-jari r adalah : ( x − a ) 2 + ( x − b ) 2 = r 2 Kurva yang saling bersinggunganmemiliki nilai diskriminan 0 , D b 2 − 4 a c ​ = = ​ 0 0 ​ Diketahui: garis menyinggung sumbu x di ( 2 , 0 ) melalui A ( 6 , 3 ) Ditanya : persamaan lingkaran Jawab: Perhatikan bahwa lingkaran tersebut melalui titik A ( 6 , 3 ) , sehingga dengan memasukkan titik A ( 6 , 3 ) ke bentuk umum persamaan lingkaran didapat, ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 6 − a ) 2 + ( 3 − b ) 2 36 − 12 a + a 2 + 9 − 6 b + b 2 a 2 + b 2 − 12 a − 6 b + 45 ​ = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 ..... ( 1 ) ​ Selain melalui titik A ( 6 , 3 ) , persamaan lingkaran juga menyinggung sumbu x di titik ( 2 , 0 ) , sehingga dengan memasukkan titik ( 2 , 0 ) ke bentuk umum persamaan lingkaran di dapat, ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 2 − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 4 − 4 a + a 2 + b 2 a 2 + b 2 − 4 a + 4 ​ = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 ..... ( 2 ) ​ Eliminasi persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) a 2 a 2 ​ + b 2 + b 2 ​ − 12 a − 4 a − 8 a ​ − 6 b − 6 b ​ + 45 + 4 + 41 ​ = r 2 = r 2 = 0 ​ ​ − ... ( 3 ) ​ Ingat bahwa persamaan lingkaran tersebut menyinggung sumbu x , jika suatu garis/persamaan menyinggung suatu garis x artinya nilai dari sumbu y = 0 , makadidapat persamaan sebagai berikut ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 x 2 − 2 a x + a 2 + b 2 − r 2 ​ = = = ​ r 2 r 2 0 ​ Jika diperhatikan x 2 − 2 a x + a 2 + b 2 − r 2 ​ = ​ 0 ​ membentuk persamaan kuadrat (kurva), jika suatu kurva saling bersinggungan maka memiliki syarat nilai diskriminan ( D ) dari persamaan tersebut adalah 0 ( D = 0 ) . D = b 2 − 4 a c x 2 − 2 a x + a 2 + b 2 − r 2 ​ = ​ 0 ​ a ​ = ​ 1 ; b = − 2 a ; c = a 2 + b 2 − r 2 ​ D b 2 − 4 a c ( − 2 a ) 2 − ( 4 ( 1 ) ( a 2 + b 2 − r 2 )) 4 a 2 − 4 a 2 − 4 b 2 + 4 r 2 − 4 b 2 + 4 r 2 − 4 b 2 b 2 ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 − 4 r 2 r 2 ​ Subtistusi b 2 = r 2 ke persamaan ( 2 ) , a 2 + b 2 − 4 a + 4 a 2 + r 2 − 4 a + 4 a 2 − 4 a + 4 a 2 − 4 a + 4 ( a − 2 ) 2 a − 2 a ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 − r 2 0 0 0 2 ​ Setelah mendapat nilai a = 2 , subtistusikan nilai tersebut ke persamaan ( 3 ) − 8 a − 6 b + 41 − 8 ( 2 ) − 6 b + 41 − 16 − 6 b + 41 − 6 b + 25 − 6 b b b ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 − 25 − 6 − 25 ​ 6 25 ​ ​ Setelah mendapat titik pusat lingkaran ( 2 , 6 25 ​ ) , selanjutnya kita perlu mencari jari-jari lingkaran dengan mensubtitusikan nilai dari b ke b 2 = r 2 . b 2 ( 6 25 ​ ) 2 36 625 ​ ​ = = = ​ r 2 r 2 r 2 ​ Persamaan lingkaran yang didapat adalah ( x − a ) 2 + ( x − b ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( x − 6 25 ​ ) 2 ​ = = ​ r 2 36 625 ​ ​ Dengan demikian,persamaan lingkaran yang melalui titik A ( 6 , 3 ) dan menyinggung sumbu X pada titik B ( 2 , 0 ) adalah ( x − 2 ) 2 + ( x − 6 25 ​ ) 2 ​ = ​ 36 625 ​ ​ .