Pertanyaan

Lingkaran x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 = 0 menyinggung sumbu X . Tentukan: a. nilai , b. persamaan lingkaran dan jari-jarinya.

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 6 y + 49 = 0$ menyinggung sumbu $X$ . Tentukan:

a. nilai $a$ ,

b. persamaan lingkaran dan jari-jarinya.

Y. Herlanda

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni STKIP PGRI Jombang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai a = 7 atau a = − 7 . Persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 = 0 dan x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 = 0 . Panjang jari-jari r = 3 . Persamaan Garis Singgung Lingkaran a. Menentukan nilai Karena lingkaran menyinggung sumbu X , maka y = 0 sehingga: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + ( 0 ) 2 − 2 a x + 6 ( 0 ) + 49 x 2 + 0 − 2 a x + 0 + 49 x 2 − 2 a x + 49 = = = = 0 0 0 0 Syarat menyinggung, D = 0 . Ingat D = b 2 − 4 a c . Diperoleh: a = 1 , b = − 2 a , c = 49 D 0 0 0 ( a − 7 ) ( a + 7 ) a − 7 a a + 7 a = = = = = = = = = b 2 − 4 a c ( − 2 a ) 2 − 4 ( 1 ) ( 49 ) 4 a 2 − 196 a 2 − 49 0 0 7 atau 0 − 7 Dengan demikian, diperoleh nilai a = 7 atau a = − 7 . b. Persamaan lingkaran dan jari-jarinya Untuk a = 7 , maka persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 2 ( 7 ) x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 = = = 0 0 0 Ingat bentuk persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C = 0 maka jari-jarinya adalah r = A 2 + B 2 − C . Diperoleh: 2 A A 2 B B = = = = − 14 − 7 6 3 r = = = = = A 2 + B 2 − C ( − 7 ) 2 + ( 3 ) 2 − 49 49 + 9 − 49 9 3 Untuk a = − 7 ,maka persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 2 ( − 7 ) x + 6 y + 49 x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 = = = 0 0 0 Ingat bentuk persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C = 0 maka jari-jarinya adalah r = A 2 + B 2 − C . Diperoleh: 2 A A 2 B B = = = = 14 7 6 3 r = = = = = A 2 + B 2 − C ( 7 ) 2 + ( 3 ) 2 − 49 49 + 9 − 49 9 3 Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah untuk a = 7 maka x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 = 0 sedangkan untuk a = − 7 maka x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 = 0 dan panjang jari-jarinya r = 3 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai $a = 7$ atau $a = - 7$ . Persamaan lingkarannya adalah $x^{2} + y^{2} - 14 x + 6 y + 49 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} + 14 x + 6 y + 49 = 0$ . Panjang jari-jari $r = 3$ .

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

a. Menentukan nilai $a$

Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ , maka $y = 0$ sehingga:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x + 6 y + 49 x^{2} + (0)^{2} - 2 a x + 6 (0) + 49 x^{2} + 0 - 2 a x + 0 + 49 x^{2} - 2 a x + 49 = = = = 0000$

Syarat menyinggung, $D = 0$ . Ingat $D = b^{2} - 4 a c$ . Diperoleh:

$a = 1, b = - 2 a, c = 49$

$D 000 (a - 7) (a + 7) a - 7 a a + 7 a = = = = = = = = = b^{2} - 4 a c (- 2 a)^{2} - 4 (1) (49) 4 a^{2} - 196 a^{2} - 49 007 atau 0 - 7$

Dengan demikian, diperoleh nilai $a = 7$ atau $a = - 7$ .

b. Persamaan lingkaran dan jari-jarinya

Untuk $a = 7$ , maka persamaan lingkarannya adalah:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x + 6 y + 49 x^{2} + y^{2} - 2 (7) x + 6 y + 49 x^{2} + y^{2} - 14 x + 6 y + 49 = = = 000$

Ingat bentuk persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 A x + 2 B y + C = 0$ maka jari-jarinya adalah $r = A^{2} + B^{2} - C$ . Diperoleh:

$2 A A 2 B B = = = = - 14 - 7 63$

$r = = = = = A^{2} + B^{2} - C (- 7)^{2} + (3)^{2} - 49 49 + 9 - 49 93$

Untuk $a = - 7$ , maka persamaan lingkarannya adalah:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x + 6 y + 49 x^{2} + y^{2} - 2 (- 7) x + 6 y + 49 x^{2} + y^{2} + 14 x + 6 y + 49 = = = 000$

Ingat bentuk persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 A x + 2 B y + C = 0$ maka jari-jarinya adalah $r = A^{2} + B^{2} - C$ . Diperoleh:

$2 A A 2 B B = = = = 14763$

$r = = = = = A^{2} + B^{2} - C (7)^{2} + (3)^{2} - 49 49 + 9 - 49 93$

Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah untuk $a = 7$ maka $x^{2} + y^{2} - 14 x + 6 y + 49 = 0$ sedangkan untuk $a = - 7$ maka $x^{2} + y^{2} + 14 x + 6 y + 49 = 0$ dan panjang jari-jarinya $r = 3$ .