Lingkaran x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 = 0 menyinggung sumbu X . Tentukan: a. nilai , b. persamaan lingkaran dan jari-jarinya.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai a = 7 atau a = − 7 . Persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 = 0 dan x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 = 0 . Panjang jari-jari r = 3 . Persamaan Garis Singgung Lingkaran a. Menentukan nilai Karena lingkaran menyinggung sumbu X , maka y = 0 sehingga: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + ( 0 ) 2 − 2 a x + 6 ( 0 ) + 49 x 2 + 0 − 2 a x + 0 + 49 x 2 − 2 a x + 49 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Syarat menyinggung, D = 0 . Ingat D = b 2 − 4 a c . Diperoleh: a = 1 , b = − 2 a , c = 49 D 0 0 0 ( a − 7 ) ( a + 7 ) a − 7 a a + 7 a ​ = = = = = = = = = ​ b 2 − 4 a c ( − 2 a ) 2 − 4 ( 1 ) ( 49 ) 4 a 2 − 196 a 2 − 49 0 0 7 atau 0 − 7 ​ Dengan demikian, diperoleh nilai a = 7 atau a = − 7 . b. Persamaan lingkaran dan jari-jarinya Untuk a = 7 , maka persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 2 ( 7 ) x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 ​ = = = ​ 0 0 0 ​ Ingat bentuk persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C = 0 maka jari-jarinya adalah r = A 2 + B 2 − C ​ . Diperoleh: 2 A A 2 B B ​ = = = = ​ − 14 − 7 6 3 ​ r ​ = = = = = ​ A 2 + B 2 − C ​ ( − 7 ) 2 + ( 3 ) 2 − 49 ​ 49 + 9 − 49 ​ 9 ​ 3 ​ Untuk a = − 7 ,maka persamaan lingkarannya adalah: x 2 + y 2 − 2 a x + 6 y + 49 x 2 + y 2 − 2 ( − 7 ) x + 6 y + 49 x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 ​ = = = ​ 0 0 0 ​ Ingat bentuk persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 A x + 2 B y + C = 0 maka jari-jarinya adalah r = A 2 + B 2 − C ​ . Diperoleh: 2 A A 2 B B ​ = = = = ​ 14 7 6 3 ​ r ​ = = = = = ​ A 2 + B 2 − C ​ ( 7 ) 2 + ( 3 ) 2 − 49 ​ 49 + 9 − 49 ​ 9 ​ 3 ​ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah untuk a = 7 maka x 2 + y 2 − 14 x + 6 y + 49 = 0 sedangkan untuk a = − 7 maka x 2 + y 2 + 14 x + 6 y + 49 = 0 dan panjang jari-jarinya r = 3 .