Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: e. A ( 1 , 2 ) , B ( 4 , 6 ) dan C ( 1 , 6 )

Pembahasan

Jawaban yang tepat untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 5 x − 8 y + 16 = 0 . Menentukan Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A ( 1 , 2 ) , B ( 4 , 6 ) dan C ( 1 , 6 ) . Misalkan persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik A, B, C terletak pada lingkaran, maka memenuhi persamaan: Untuk A ( 1 , 2 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( 2 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 1 ) ​ Untuk B ( 4 , 6 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + ( 6 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 2 ) ​ Untuk C ( 1 , 6 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( 6 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 3 ) ​ Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh: ( 1 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 2 − b ) 2 ( 2 − b ) ( 2 − b ) ( 4 − 2 b − 2 b + b 2 ) ( 4 − 4 b + b 2 ) − 32 ​ + + − − − − + ​ ( 2 − b ) 2 ( 6 − b ) 2 ( 6 − b ) 2 ( 6 − b ) ( 6 − b ) ( 36 − 6 b − 6 b + b 2 ) ( 36 − 12 b + b 2 ) 8 b 8 b b ​ = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 32 4 ​ − ​ ​ Substitusi b = 4 ke persamaan (2) dan (3): ( 2 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ​ + + + + + + + + ​ ( 6 − b ) 2 ( 6 − 4 ) 2 ( 2 ) 2 4 ( 6 − b ) 2 ( 6 − 4 ) 2 ( 2 ) 2 4 ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ​ ​ Eliminasi: ( 4 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) ( 4 − a ) ( 16 − 4 a − 4 a + a 2 ) ( 16 − 8 a + a 2 ) 15 ​ + + − − − − − − ​ 4 4 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) ( 1 − a ) ( 1 − a − a + a 2 ) ( 1 − 2 a + a 2 ) 6 a 6 a a ​ = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 − 15 2 , 5 ​ ​ − ​ ​ ​ Untuk a = 2 , 5 ; b = 4 , maka: ( 1 ) ​ : ​ ( 1 − a ) 2 ( 1 − 2 , 5 ) 2 ( − 1 , 5 ) 2 2 , 25 ​ + + + + ​ ( 2 − b ) 2 ( 2 − 4 ) 2 ( − 2 ) 2 4 6 , 25 6 , 25 ​ 2 , 5 ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r r ​ ​ Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( a , b ) = ( 2 , 5 ; 4 ) dan jari-jari lingkaran ( r ) = 2 , 5 adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 2 , 5 ) 2 + ( y − 4 ) 2 ( x − 2 , 5 ) ( x − 2 , 5 ) + ( y − 4 ) ( y − 4 ) ( x 2 − 2 , 5 x − 2 , 5 x + 6 , 25 ) + ( y 2 − 4 y − 4 y + 16 ) − 6 , 25 ( x 2 − 5 x + 6 , 25 ) + ( y 2 − 8 y + 16 ) − 6 , 25 x 2 + y 2 − 5 x − 8 y + 16 ​ = = = = = = ​ r 2 6 , 25 6 , 25 0 0 0 ​ Berikut grafik persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 5 x − 8 y + 16 = 0 : Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A ( 1 , 2 ) , B ( 4 , 6 ) dan C ( 1 , 6 ) adalah x 2 + y 2 − 5 x − 8 y + 16 = 0 .