Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: a. P ( 1 , 0 ) , Q ( 1 , 2 ) dan R ( 2 , 1 )

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 . Menentukan Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P ( 1 , 0 ) , Q ( 1 , 2 ) dan R ( 2 , 1 ) . Misalkan persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik P, Q, R terletak pada lingkaran, maka memenuhi persamaan: Untuk P ( 1 , 0 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + b 2 ​ = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 ... ( 1 ) ​ Untuk Q ( 1 , 2 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( 2 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 2 ) ​ Untuk R ( 2 , 1 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 2 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 3 ) ​ Eliminasi persamaan (1) dan (2): ( 1 ) ( 2 ) ​ : : ​ ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 b 2 b 2 b 2 b 2 ​ + + − − − − − ​ b 2 ( 2 − b ) 2 ( 2 − b ) 2 ( 2 − b ) ( 2 − b ) ( 4 − 2 b − 2 b + b 2 ) ( 4 − 4 b + b 2 ) ( 4 − 4 b ) 4 b b ​ = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 4 1 ​ − ​ ​ Substitusi b = 1 ke persamaan (1) dan (3): ( 1 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ​ + + + + + + ​ b 2 ( 1 ) 2 1 ( 1 − b ) 2 ( 1 − ( 1 ) ) 2 0 2 ( 2 − a ) 2 ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ​ ​ Eliminasi: ( 1 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 1 − a ) 2 ( 1 − a ) ( 1 − a ) ( 1 − a − a + a 2 ) ( 1 − 2 a + a 2 ) − 3 ​ + − − − − + ​ 1 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) ( 2 − a ) ( 4 − 2 a − 2 a + a 2 ) ( 4 − 4 a + a 2 ) 2 a 2 a ​ + + + + + − ​ 1 1 1 1 1 2 2 a a ​ = = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 0 2 1 ​ − ​ ​ Substitusikan a = 1 , b = 1 ke persamaan (1): ( 1 ) ​ : ​ ( 1 − a ) 2 ( 1 − 1 ) 2 0 2 ​ + + + ​ b 2 ( 1 ) 2 1 1 1 ​ ​ = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r ​ ​ Dengan pusat lingkaran berada di titik ( a , b ) = ( 1 , 1 ) dan jari-jari lingkaran ( r ) = 1 ​ . Diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 1 ) ( x − 1 ) + ( y − 1 ) ( y − 1 ) ( x 2 − x − x + 1 ) + ( y 2 − y − y + 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 − 2 y + 1 ) − 1 x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 ​ = = = = = = = ​ r 2 ( 1 ​ ) 2 1 1 1 0 0 ​ Beriku adalah gambar grafik lingkaran berdasarkan persamaan di atas: Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P ( 1 , 0 ) , Q ( 1 , 2 ) dan R ( 2 , 1 ) adalah x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 .