Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: c. K ( 2 , 5 ) , L ( 6 , 1 ) dan M ( 2 , 1 )

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 17 = 0 . Menentukan Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik Persamaan lingkaran yang melalui 3 titik K ( 2 , 5 ) , L ( 6 , 1 ) dan M ( 2 , 1 ) . Misalkan persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik K, L, M terteletak pada lingkaran, maka memenuhi persamaan: Untuk K ( 2 , 5 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 2 − a ) 2 + ( 5 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 1 ) ​ Untuk L ( 6 , 1 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 6 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 2 ) ​ Untuk M ( 2 , 1 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 2 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 3 ) ​ Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh: ( 1 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 5 − b ) 2 ( 5 − b ) ( 5 − b ) ( 25 − 5 b − 5 b + b 2 ) ( 25 − 10 b + b 2 ) 24 ​ + + − − − − − − ​ ( 5 − b ) 2 ( 1 − b ) 2 ( 1 − b ) 2 ( 1 − b ) ( 1 − b ) ( 1 − b − b + b 2 ) ( 1 − 2 b + b 2 ) 8 b 8 b b ​ = = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 − 24 − 8 − 24 ​ 3 ​ − ​ ​ Substitusikan b = 3 ke persamaan (2) dan (3): ( 2 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 6 − a ) 2 ( 6 − a ) 2 ( 6 − a ) 2 ( 6 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ​ + + + + + + + + ​ ( 1 − b ) 2 ( 1 − 3 ) 2 ( − 2 ) 2 4 ( 1 − b ) 2 ( 1 − 3 ) 2 ( − 2 ) 2 4 ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ​ ​ Eliminasi: ( 6 − a ) 2 ( 2 − a ) 2 ( 6 − a ) 2 ( 6 − a ) ( 6 − a ) ( 36 − 6 a − 6 a + a 2 ) ( 36 − 12 a + a 2 ) 32 ​ + + − − − − − − ​ 4 4 ( 2 − a ) 2 ( 2 − a ) ( 2 − a ) ( 4 − 2 a − 2 a + a 2 ) ( 4 − 4 a + a 2 ) 8 a 8 a a ​ = = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 − 32 − 8 − 32 ​ 4 ​ ​ − ​ ​ ​ Untuk a = 4 , b = 3 , maka: ( 1 ) ​ : ​ ( 2 − a ) 2 ( 2 − 4 ) 2 ( − 2 ) 2 4 ​ + + + + ​ ( 5 − b ) 2 ( 5 − 3 ) 2 ( 2 ) 2 4 8 8 ​ 4 × 2 ​ 2 2 ​ ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r r r ​ ​ Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( a , b ) = ( 4 , 3 ) dan jari-jari lingkaran ( r ) = 2 2 ​ adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( y − 3 ) 2 ( x − 4 ) ( x − 4 ) + ( y − 3 ) ( y − 3 ) ( x 2 − 4 x − 4 x + 16 ) + ( y 2 − 3 y − 3 y + 9 ) − 8 ( x 2 − 8 x + 16 ) + ( y 2 − 6 y + 9 ) − 8 x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 17 ​ = = = = = = ​ r 2 8 8 0 0 0 ​ Berikut grafik persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 17 = 0 : Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui 3 titik K ( 2 , 5 ) , L ( 6 , 1 ) dan M ( 2 , 1 ) adalah x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 17 = 0 .