Diketahui sebuah lingkaran melalui titik (4, 0), titik (0, 4), dan titik asal. Tentukan: a. Pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran. c. Persamaan lingkaran.

Pertanyaan

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik $\left(4,\;0\right)$ , titik $\left(0,\;4\right)$ , dan titik asal. Tentukan:

a. Pusat lingkaran.

b. Jari-jari lingkaran. $\;\;$

c. Persamaan lingkaran.

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran tersebut adalah $\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8$ . $\;\;$

Pembahasan

Ingat,

Bentuk umum persamaan lingkaran

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

a. Pusat Lingkaran

Titik pusat lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$\left(-\frac12\;A,\;-\frac12\;B\right)$

Dari soal diketahui lingkaran melalui titik $\left(4,\;0\right)$ , titik $\left(0,\;4\right)$ , dan titik asal, sehingga titik-titik tersebut memenuhi satu persamaan lingkaran.

♦Substitusi titik asal $\left(0,\;0\right)$

$\begin{array}{rcl}x^2+y^2+Ax+By+C&=&0\\\left(0\right)^2+\left(0\right)^2+A\left(0\right)+B\left(0\right)+C&=&0\\0+0+0+0+C&=&0\\C&=&0\end{array}$

Diperoleh nilai $C=0$

♦Substitusi titik $\left(4,\;0\right)$ dan nilai $C=0$

$\begin{array}{rcl}x^2+y^2+Ax+By+C&=&0\\\left(4\right)^2+\left(0\right)^2+A\left(4\right)+B\left(0\right)+0&=&0\\16+0+4A+0+0&=&0\\4A+16&=&0\\4A&=&-16\\A&=&-4\end{array}$

Diperoleh nilai $A=-4$

♦Substitusi titik $\left(0,\;4\right)$ , nilai $C=0$ dan nilai $A=-4$

$\begin{array}{rcl}x^2+y^2+Ax+By+C&=&0\\\left(0\right)^2+\left(4\right)^2+\left(-4\right)\left(0\right)+B\left(4\right)+0&=&0\\0+16+0+4B+0&=&0\\4B+16&=&0\\4B&=&-16\\B&=&-4\end{array}$

Diperoleh nilai $B=-4$

Dengan $A=-4,\;B=-4,\;C=0$ , maka dapat menentukan pusat lingkaran yaitu

$\left(-\frac12\;A,\;-\frac12\;B\right)=\left(-\frac12\cdot-4,\;-\frac12\cdot-4\right)=\left(2,\;2\right)$

Dengan demikian, pusat lingkaran tersebut adalah $\left(2,2\right)$ . $\;\;$

b. Jari-jari Lingkaran

Jari-jari lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$r=\sqrt{\frac14A^2+\frac14B^2-C}$

Dari jawaban sebelumnya, diperoleh bahwa nilai $A=-4,\;B=-4,\;C=0$ , dengan menggunakan rumus jari-jari di atas, maka diperoleh perhitungan sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}r&=&\sqrt{\frac14A^2+\frac14B^2-C}\\&=&\sqrt{\frac14\left(-4\right)^2+\frac14\left(-4\right)^2-0}\\&=&\sqrt{\frac14\left(16\right)+\frac14\left(16\right)}\\&=&\sqrt{4+4}\\&=&\sqrt{4\times2}\\&=&2\sqrt2\end{array}$

Dengan demikian, jari-jari lingkaran tersebut adalah $2\sqrt2$ . $\;\;$

c. Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat $\left(a,\;b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah sebagai berikut:

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa titik pusat lingkaran adalah $\left(2,\;2\right)$ dan jari-jari $2\sqrt2$ , sehingga persamaan lingkarannya

' $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\\\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(2\sqrt2\right)^2\\\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8$

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah $\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8$ . $\;\;$

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut. c. (x−6)2+y2=20 d. x2+y2−4x−10y−20=0

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui tiga titik: P(−2, 7), Q(2, 3), dan R(4, 5). Tunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P, Q, dan R.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: f. A(3, 1), B(−2, 6) dan C(−5, −3)

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: b. A(1, 3), B(−3, −5) dan C(6, −2)

476

5.0

Jawaban terverifikasi

Tulislah persamaan lingkaran dalam bentuk x2+y2+2Ax+2By+C=0, jika diketahui pusat C(h, k) dan jari-jari r: c. C(−5, 2); r=6

126

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Bantuan & Panduan

Hubungi Kami

081578200000

info@ruangguru.com

02140008000

Ikuti Kami