Pertanyaan

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik ( 4 , 0 ) , titik ( 0 , 4 ) , dan titik asal. Tentukan: a. Pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran. c. Persamaan lingkaran.

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik $(4, 0)$ , titik $(0, 4)$ , dan titik asal. Tentukan:

a. Pusat lingkaran.

b. Jari-jari lingkaran. $\;\;$

c. Persamaan lingkaran.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran tersebut adalah ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 8 .

persamaan lingkaran tersebut adalah

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Bentuk umum persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 a. Pusat Lingkaran Titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: ( − 2 1 A , − 2 1 B ) Dari soal diketahui lingkaran melalui titik ( 4 , 0 ) , titik ( 0 , 4 ) , dan titik asal,sehingga titik-titik tersebut memenuhi satu persamaan lingkaran. ♦Substitusititik asal ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + A ( 0 ) + B ( 0 ) + C 0 + 0 + 0 + 0 + C C = = = = 0 0 0 0 Diperoleh nilai C = 0 ♦Substitusititik ( 4 , 0 ) dannilai C = 0 x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 4 ) 2 + ( 0 ) 2 + A ( 4 ) + B ( 0 ) + 0 16 + 0 + 4 A + 0 + 0 4 A + 16 4 A A = = = = = = 0 0 0 0 − 16 − 4 Diperoleh nilai A = − 4 ♦Substitusititik ( 0 , 4 ) , nilai C = 0 dannilai A = − 4 x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 0 ) 2 + ( 4 ) 2 + ( − 4 ) ( 0 ) + B ( 4 ) + 0 0 + 16 + 0 + 4 B + 0 4 B + 16 4 B B = = = = = = 0 0 0 0 − 16 − 4 Diperoleh nilai B = − 4 Dengan A = − 4 , B = − 4 , C = 0 , maka dapat menentukan pusat lingkaran yaitu ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 1 ⋅ − 4 , − 2 1 ⋅ − 4 ) = ( 2 , 2 ) Dengan demikian, pusat lingkaran tersebut adalah ( 2 , 2 ) . b. Jari-jari Lingkaran Jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C Dari jawaban sebelumnya, diperoleh bahwa nilai A = − 4 , B = − 4 , C = 0 , dengan menggunakan rumus jari-jari di atas, maka diperoleh perhitungan sebagai berikut: r = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − 4 ) 2 + 4 1 ( − 4 ) 2 − 0 4 1 ( 16 ) + 4 1 ( 16 ) 4 + 4 4 × 2 2 2 Dengan demikian, jari-jari lingkaran tersebut adalah 2 2 . c. Persamaan Lingkaran Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan jari-jari r adalah sebagai berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa titik pusat lingkaran adalah ( 2 , 2 ) dan jari-jari 2 2 , sehingga persamaan lingkarannya ' ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = ( 2 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 8 Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 8 .

Ingat,

Bentuk umum persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

a. Pusat Lingkaran

Titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$

Dari soal diketahui lingkaran melalui titik $(4, 0)$ , titik $(0, 4)$ , dan titik asal, sehingga titik-titik tersebut memenuhi satu persamaan lingkaran.

♦Substitusi titik asal $(0, 0)$

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (0)^{2} + (0)^{2} + A (0) + B (0) + C 0 + 0 + 0 + 0 + C C = = = = 0000$

Diperoleh nilai $C = 0$

♦Substitusi titik $(4, 0)$ dan nilai $C = 0$

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (4)^{2} + (0)^{2} + A (4) + B (0) + 0 16 + 0 + 4 A + 0 + 0 4 A + 16 4 A A = = = = = = 0000 - 16 - 4$

Diperoleh nilai $A = - 4$

♦Substitusi titik $(0, 4)$ , nilai $C = 0$ dan nilai $A = - 4$

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (0)^{2} + (4)^{2} + (- 4) (0) + B (4) + 0 0 + 16 + 0 + 4 B + 0 4 B + 16 4 B B = = = = = = 0000 - 16 - 4$

Diperoleh nilai $B = - 4$

Dengan $A = - 4, B = - 4, C = 0$ , maka dapat menentukan pusat lingkaran yaitu

$(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} \cdot - 4, - \frac{1}{2} \cdot - 4) = (2, 2)$

Dengan demikian, pusat lingkaran tersebut adalah $(2, 2)$ . $\;\;$

b. Jari-jari Lingkaran

Jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$

Dari jawaban sebelumnya, diperoleh bahwa nilai $A = - 4, B = - 4, C = 0$ , dengan menggunakan rumus jari-jari di atas, maka diperoleh perhitungan sebagai berikut:

$r = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- 4)^{2} + \frac{1}{4} (- 4)^{2} - 0 \frac{1}{4} (16) + \frac{1}{4} (16) 4 + 4 4 \times 2 22$

Dengan demikian, jari-jari lingkaran tersebut adalah $22$ . $\;\;$

c. Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ adalah sebagai berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa titik pusat lingkaran adalah $(2, 2)$ dan jari-jari $22$ , sehingga persamaan lingkarannya

' $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = (22)^{2} (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ . $\;\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.4 (5 rating)

Mei Syahrani

Pembahasan tidak menjawab soal

Pertanyaan serupa

Tentukan pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut. c. ( x − 6 ) 2 + y 2 = 20 d. x 2 + y 2 − 4 x − 10 y − 20 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut. c. ( x − 6 ) 2 + y 2 = 20 d. x 2 + y 2 − 4 x − 10 y − 20 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: f. A ( 3 , 1 ) , B ( − 2 , 6 ) dan C ( − 5 , − 3 )

4.6

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: b. A ( 1 , 3 ) , B ( − 3 , − 5 ) dan C ( 6 , − 2 )

3.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui tiga titik: P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) . Tunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R .

5.0

Jawaban terverifikasi