Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui unsur-unsur berikut ini: j. Melalui titik-titik ( 4 , − 6 ) , ( 7 , − 3 ) dan ( 4 , 0 )

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 16 = 0 . Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Koordinat Titik pada Lingkaran Misalkan persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik ( 4 , − 6 ) , ( 7 , − 3 ) dan ( 4 , 0 ) terletak pada lingkaran, maka memenuhi persamaan: Untuk ( 4 , − 6 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + ( − 6 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 1 ) ​ Untuk ( 7 , − 3 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 7 − a ) 2 + ( − 3 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 2 ) ​ Untuk ( 4 , 0 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + ( − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + b 2 ​ = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 ... ( 3 ) ​ Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh: ( 1 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( − 6 − b ) 2 ( − 6 − b ) ( − 6 − b ) ( 36 + 6 b + 6 b + b 2 ) 36 ​ + + − − − + ​ ( − 6 − b ) 2 b 2 b 2 b 2 b 2 12 b 12 b b ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 − 36 − 3 ​ − ​ ​ Substitusi b = − 3 ke persamaan (2) dan (3): ( 2 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 7 − a ) 2 ( 7 − a ) 2 ( 7 − a ) 2 ( 7 − a ) 2 ( 7 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ​ + + + + + + + ​ ( − 3 − b ) 2 ( − 3 − ( − 3 ) ) 2 ( − 3 + 3 ) 2 0 2 b 2 ( − 3 ) 2 9 ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ​ ​ Eliminasi: ( 7 − a ) 2 ( 4 − a ) 2 ( 7 − a ) 2 ( 7 − a ) ( 7 − a ) ( 49 − 7 a − 7 a + a 2 ) ( 49 − 14 a + a 2 ) ​ + − − − − ​ 9 ( 4 − a ) 2 ( 4 − a ) ( 4 − a ) ( 16 − 4 a − 4 a + a 2 ) ( 16 − 8 a + a 2 ) 24 ​ − − − − − − ​ 9 9 9 9 6 a 6 a a ​ = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 − 24 4 ​ − ​ ​ Untuk a = 4 , b = − 3 , maka: ( 1 ) ​ : ​ ( 4 − a ) 2 ( 4 − 4 ) 2 0 2 ​ + + + ​ ( − 6 − b ) 2 ( − 6 − ( − 3 ) ) 2 ( − 6 + 3 ) 2 ( 3 ) 2 9 9 ​ 3 ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r r ​ ​ Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) = ( 4 , − 3 ) dan jari-jari ( r ) = 3 : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( y − ( − 3 ) ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 ( x − 4 ) ( x − 4 ) + ( y + 3 ) ( y + 3 ) ( x 2 − 4 x − 4 x + 16 ) + ( y 2 + 3 y + 3 y + 9 ) − 9 ( x 2 − 8 x + 16 ) + ( y 2 + 6 y + 9 ) − 9 x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 16 ​ = = = = = = = ​ r 2 3 2 9 9 0 0 0 ​ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui titik-titik ( 4 , − 6 ) , ( 7 , − 3 ) dan ( 4 , 0 ) adalah x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 16 = 0 .