Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: d. A ( 5 , 4 ) , B ( 5 , − 2 ) dan C ( 10 , 4 )

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 15 x − 2 y + 42 ​ = ​ 0 ​ . Menentukan Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A ( 5 , 4 ) , B ( 5 , − 2 ) dan C ( 10 , 4 ) . Misalkan persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik A, B, C terletak pada lingkaran, maka memenuhi persamaan: Untuk A ( 5 , 4 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 5 − a ) 2 + ( 4 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 1 ) ​ Untuk B ( 5 , − 2 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 5 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 2 ) ​ Untuk C ( 10 , 4 ) , maka: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 10 − a ) 2 + ( 4 − b ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ... ( 3 ) ​ Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: ( 1 ) ( 2 ) ​ : : ​ ( 5 − a ) 2 ( 5 − a ) 2 ( 4 − b ) 2 ( 4 − b ) ( 4 − b ) ( 16 − 4 b − 4 b + b 2 ) ( 16 − 8 b + b 2 ) 12 ​ + + − − − − − − ​ ( 4 − b ) 2 ( − 2 − b ) 2 ( − 2 − b ) 2 ( − 2 − b ) ( − 2 − b ) ( 4 + 2 b + 2 b + b 2 ) ( 4 + 4 b + b 2 ) 12 b 12 b b ​ = = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 − 12 − 12 − 12 ​ 1 ​ − ​ ​ Substitusi b = 1 ke persamaan (1) dan (3): ( 1 ) ( 3 ) ​ : : ​ ( 5 − a ) 2 ( 5 − a ) 2 ( 5 − a ) 2 ( 5 − a ) 2 ( 10 − a ) 2 ( 10 − a ) 2 ( 10 − a ) 2 ( 10 − a ) 2 ​ + + + + + + + + ​ ( 4 − b ) 2 ( 4 − 1 ) 2 ( 3 ) 2 9 ( 4 − b ) 2 ( 4 − 1 ) 2 ( 3 ) 2 9 ​ = = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ​ ​ Eliminasi: ( 5 − a ) 2 ( 10 − a ) 2 ( 5 − a ) 2 ( 5 − a ) ( 5 − a ) ( 25 − 5 a − 5 a + a 2 ) ( 25 − 10 a + a 2 ) − 75 ​ + + − − − − + ​ 9 9 ( 10 − a ) 2 ( 10 − a ) ( 10 − a ) ( 100 − 10 a − 10 a + a 2 ) ( 100 − 20 a + a 2 ) 10 a 10 a a ​ = = = = = = = = = ​ r 2 r 2 0 0 0 0 0 75 7 , 5 ​ ​ − ​ ​ ​ Untuk a = 7 , 5 ; b = 1 maka: ( 1 ) ​ : ​ ( 5 − a ) 2 ( 5 − 7 , 5 ) 2 ( − 2 , 5 ) 2 6 , 25 ​ + + + + ​ ( 4 − b ) 2 ( 4 − 1 ) 2 ( 3 ) 2 9 15 , 25 15 , 25 ​ 3 , 09 ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r r ​ ​ Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( a , b ) = ( 7 , 5 ; 1 ) dan jari-jari lingkaran ( r ) = 3 , 09 adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 7 , 5 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 7 , 5 ) ( x − 7 , 5 ) + ( y − 1 ) ( y − 1 ) ( x 2 − 7 , 5 x − 7 , 5 x + 56 , 25 ) + ( y 2 − y − y + 1 ) ( x 2 − 15 x + 56 , 25 ) + ( y 2 − 2 y + 1 ) − 15 , 25 x 2 + y 2 − 15 x − 2 y + 42 ​ = = = = = = ​ r 2 15 , 25 15 , 25 15 , 25 0 0 ​ Berikut grafik persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 15 x − 2 y + 42 ​ = ​ 0 ​ : Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A ( 5 , 4 ) , B ( 5 , − 2 ) dan C ( 10 , 4 ) adalah x 2 + y 2 − 15 x − 2 y + 42 ​ = ​ 0 ​ .