Tentukan persamaan lingkaran yang melaluitiga titik berikut ini. b. P ( 6 , − 21 ) , Q ( 10 , − 13 ) , dan R ( 13 , − 22 )

Pembahasan

Ingat persamaan umum lingkaran berikut: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik dapat diselesaikan dengan metode eliminasi-substitusi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Diketahui: titik-titik yang dilalui P ( 6 , − 21 ) , Q ( 10 , − 13 ) , dan R ( 13 , − 22 ) . Berdasarkan persamaan umum lingkaran dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut: Lingkaran melalui titik P ( 6 , − 21 ) . x 2 + y 2 + A x + B y + C 6 2 + ( − 21 ) 2 + A ⋅ 6 + B ⋅ ( − 21 ) + C 36 + 441 + 6 A − 21 B + C 6 A − 21 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 477...1 ​ Lingkaran melalui titik Q ( 10 , − 13 ) . x 2 + y 2 + A x + B y + C 1 0 2 + ( − 13 ) 2 + A ⋅ 10 + B ⋅ ( − 13 ) + C 100 + 169 + 10 A − 13 B + C 10 A − 13 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 269...2 ​ Lingkaran melalui titik R ( 13 , − 22 ) . x 2 + y 2 + A x + B y + C 1 3 2 + ( − 22 ) 2 + A ⋅ 13 + B ⋅ ( − 22 ) + C 169 + 484 + 13 A − 22 B + C 13 A − 22 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 653...3 ​ Eliminasi persamaan 1 dan 2 berikut: 6 A 10 A ​ − − ​ 21 B 13 B − 4 A ​ + + − ​ C C 8 B ​ = = = ​ − 477 − 269 − 208 ​ − ...4 ​ ​ Kemudian, eliminasi juga persamaan 2 dan 3 berikut: 10 A 13 A ​ − − ​ 13 B 22 B − 3 A A ​ + + + − ​ C C 9 B 3 B ​ = = = = ​ − 269 − 653 384 − 128 ​ − ...5 ​ ​ Lalu eliminasi pula persamaan 4 dan 5 berikut: − 4 A A − 4 A 4 A ​ − − − − ​ 8 B 3 B 8 B 12 B − 20 B B ​ = = = = = = ​ − 208 − 128 − 208 − 512 − 720 36 ​ ∣ × 1 ∣ × 4 + ​ ​ Substitusi nilai B ke dalam persamaan 5 seperti berikut: A − 3 ⋅ 36 A − 108 A ​ = = = = ​ − 128 − 128 − 128 + 108 − 20 ​ Substitusikan nilai A dan B ke dalam persamaan 1 seperti berikut: 6 ⋅ ( − 20 ) − 21 ⋅ 36 + C − 120 − 756 + C C ​ = = = = ​ − 477 − 477 − 477 + 876 399 ​ Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah x 2 + y 2 − 20 x + 36 y + 399 = 0 .