Pertanyaan

Diketahui tiga titik: P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) . Tunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R .

Diketahui tiga titik: $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ . Tunjukkan bahwa $PQ$ tegak lurus $QR$ . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $P$ , $Q$ , dan $R$ .

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = 0

persamaan lingkaran yang melalui titik

P

Q

, dan

R

adalah

2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = 0

Pembahasan

Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran apabila diketahui tiga titik koordinatnya adalah sebagai berikut. 1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . 2. Substitusi ketiga titik koordinatnya pada bentuk umum persamaan lingkaran tersebut sehingga diperoleh tiga persamaan. 3. Tentukan nilai A , B , dan C . 4. Substitusinilai A , B , dan C pada bentuk umum persamaan lingkaran. Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Akan ditunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Ingat! Jikadua garis saling tegak lurus, maka berlaku hubungan berikut. m 1 ⋅ m 2 = − 1 Gradien garis PQ yang melalui P ( − 2 , 7 ) dan Q ( 2 , 3 ) , yaitu m 1 = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 2 + 2 3 − 7 − 1 Gradien garis QR yang melalui Q ( 2 , 3 ) dan R ( 4 , 5 ) , yaitu m 2 = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 4 − 2 5 − 3 1 Diperoleh hubungan m 1 ⋅ m 2 = − 1 ⋅ 1 = − 1 sehingga PQ tegak lurus QR . Persamaan lingkaran yang melalui P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) dapat ditentukan sebagai berikut. Substitusi P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Untuk P ( − 2 , 7 ) diperoleh persamaan ( 1 ) , yaitu ( − 2 ) 2 + 7 2 − 2 A + 7 B + C − 2 A + 7 B + C = = 0 − 53 Untuk Q ( 2 , 3 ) diperoleh persamaan ( 2 ) , yaitu 2 2 + 3 2 + 2 A + 3 B + C 2 A + 3 B + C = = 0 − 13 Untuk R ( 4 , 5 ) diperoleh persamaan ( 3 ) , yaitu 4 2 + 5 2 + 4 A + 5 B + C 4 A + 5 B + C = = 0 − 41 Eliminasi C dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) sehingga diperoleh persamaan ( 4 ) berikut. − 2 A + 7 B + C 2 A + 3 B + C − 4 A + 4 B A − B = = = = − 53 − 41 − 12 3 − Eliminasi C dari persamaan ( 2 ) dan ( 3 ) sehingga diperoleh persamaan ( 5 ) berikut. 2 A + 3 B + C 4 A + 5 B + C − 2 A − 2 B A + B = = = = − 13 − 41 28 − 14 − Dari persamaan ( 4 ) dan ( 5 ) diperoleh nilai A dan B sebagai berikut. A − B A + B 2 A A = = = = 3 − 14 − 11 − 2 11 + A − B A + B − 2 B B = = = = 3 − 14 17 − 2 17 − Substitusi A = − 2 11 dan B = − 2 17 pada persamaan ( 2 ) sehingga diperoleh nilai C berikut. 2 A + 3 B + C 2 ( − 2 11 ) + 3 ( − 2 17 ) + C − 11 − 2 51 + C C C C C = = = = = = = − 13 − 13 − 13 − 13 + 11 − 2 51 − 2 − 2 51 2 − 4 − 51 2 − 55 Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu x 2 + y 2 + A x + B y + C x 2 + y 2 − 2 11 x − 2 17 y − 2 55 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = = = 0 0 0 Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = 0

Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran apabila diketahui tiga titik koordinatnya adalah sebagai berikut.

1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

2. Substitusi ketiga titik koordinatnya pada bentuk umum persamaan lingkaran tersebut sehingga diperoleh tiga persamaan.

3. Tentukan nilai $A$ , $B$ , dan $C$ .

4. Substitusi nilai $A$ , $B$ , dan $C$ pada bentuk umum persamaan lingkaran.

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

Akan ditunjukkan bahwa $PQ$ tegak lurus $QR$ .

Ingat! Jika dua garis saling tegak lurus, maka berlaku hubungan berikut.

$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Gradien garis $PQ$ yang melalui $P (- 2, 7)$ dan $Q (2, 3)$ , yaitu

$m_{1} = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{3 - 7}{2 + 2} - 1$

Gradien garis $QR$ yang melalui $Q (2, 3)$ dan $R (4, 5)$ , yaitu

$m_{2} = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{5 - 3}{4 - 2} 1$

Diperoleh hubungan $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \cdot 1 = - 1$ sehingga $PQ$ tegak lurus $QR$ .

Persamaan lingkaran yang melalui $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ dapat ditentukan sebagai berikut.

Substitusi $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

Untuk $P (- 2, 7)$ diperoleh persamaan $(1)$ , yaitu

$(- 2)^{2} + 7^{2} - 2 A + 7 B + C - 2 A + 7 B + C = = 0 - 53$

Untuk $Q (2, 3)$ diperoleh persamaan $(2)$ , yaitu

$2^{2} + 3^{2} + 2 A + 3 B + C 2 A + 3 B + C = = 0 - 13$

Untuk $R (4, 5)$ diperoleh persamaan $(3)$ , yaitu

$4^{2} + 5^{2} + 4 A + 5 B + C 4 A + 5 B + C = = 0 - 41$

Eliminasi $C$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh persamaan $(4)$ berikut.

$- 2 A + 7 B + C 2 A + 3 B + C - 4 A + 4 B A - B = = = = - 53 - 41 - 12 3 -$

Eliminasi $C$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$ sehingga diperoleh persamaan $(5)$ berikut.

$2 A + 3 B + C 4 A + 5 B + C - 2 A - 2 B A + B = = = = - 13 - 41 28 - 14 -$

Dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ diperoleh nilai $A$ dan $B$ sebagai berikut.

$A - B A + B 2 A A = = = = 3 - 14 - 11 - \frac{11}{2} +$

$A - B A + B - 2 B B = = = = 3 - 14 17 - \frac{17}{2} -$

Substitusi $A = - \frac{11}{2}$ dan $B = - \frac{17}{2}$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh nilai $C$ berikut.

$2 A + 3 B + C 2 (- \frac{11}{2}) + 3 (- \frac{17}{2}) + C - 11 - \frac{51}{2} + C C C C C = = = = = = = - 13 - 13 - 13 - 13 + 11 - \frac{51}{2} - 2 - \frac{51}{2} \frac{- 4 - 51}{2} \frac{- 55}{2}$

Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C x^{2} + y^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{17}{2} y - \frac{55}{2} 2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = = = 000$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui titik $P$ , $Q$ , dan $R$ adalah $2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = 0$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: f. A ( 3 , 1 ) , B ( − 2 , 6 ) dan C ( − 5 , − 3 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik ( 4 , 0 ) , titik ( 0 , 4 ) , dan titik asal. Tentukan: a. Pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran. c. Persamaan lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: b. A ( 1 , 3 ) , B ( − 3 , − 5 ) dan C ( 6 , − 2 )

4.6

Jawaban terverifikasi

Hitunglah berapa nilai-nilai A , B , dan C . Jika lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 melalui ( 3 , 5 ) , ( − 2 , 4 ) , dan ( − 6 , − 2 ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik berikut! c. A ( 0 , − 1 ) , B ( 2 , 3 ) , dan C ( 1 , 6 )

5.0

Jawaban terverifikasi