Pertanyaan

Diketahui tiga titik: P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) . Tunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R .

Diketahui tiga titik: $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ . Tunjukkan bahwa $PQ$ tegak lurus $QR$ . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $P$ , $Q$ , dan $R$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = 0

persamaan lingkaran yang melalui titik

P

Q

, dan

R

adalah

2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = 0

Pembahasan

Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran apabila diketahui tiga titik koordinatnya adalah sebagai berikut. 1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . 2. Substitusi ketiga titik koordinatnya pada bentuk umum persamaan lingkaran tersebut sehingga diperoleh tiga persamaan. 3. Tentukan nilai A , B , dan C . 4. Substitusinilai A , B , dan C pada bentuk umum persamaan lingkaran. Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Akan ditunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Ingat! Jikadua garis saling tegak lurus, maka berlaku hubungan berikut. m 1 ⋅ m 2 = − 1 Gradien garis PQ yang melalui P ( − 2 , 7 ) dan Q ( 2 , 3 ) , yaitu m 1 = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 2 + 2 3 − 7 − 1 Gradien garis QR yang melalui Q ( 2 , 3 ) dan R ( 4 , 5 ) , yaitu m 2 = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 4 − 2 5 − 3 1 Diperoleh hubungan m 1 ⋅ m 2 = − 1 ⋅ 1 = − 1 sehingga PQ tegak lurus QR . Persamaan lingkaran yang melalui P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) dapat ditentukan sebagai berikut. Substitusi P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Untuk P ( − 2 , 7 ) diperoleh persamaan ( 1 ) , yaitu ( − 2 ) 2 + 7 2 − 2 A + 7 B + C − 2 A + 7 B + C = = 0 − 53 Untuk Q ( 2 , 3 ) diperoleh persamaan ( 2 ) , yaitu 2 2 + 3 2 + 2 A + 3 B + C 2 A + 3 B + C = = 0 − 13 Untuk R ( 4 , 5 ) diperoleh persamaan ( 3 ) , yaitu 4 2 + 5 2 + 4 A + 5 B + C 4 A + 5 B + C = = 0 − 41 Eliminasi C dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) sehingga diperoleh persamaan ( 4 ) berikut. − 2 A + 7 B + C 2 A + 3 B + C − 4 A + 4 B A − B = = = = − 53 − 41 − 12 3 − Eliminasi C dari persamaan ( 2 ) dan ( 3 ) sehingga diperoleh persamaan ( 5 ) berikut. 2 A + 3 B + C 4 A + 5 B + C − 2 A − 2 B A + B = = = = − 13 − 41 28 − 14 − Dari persamaan ( 4 ) dan ( 5 ) diperoleh nilai A dan B sebagai berikut. A − B A + B 2 A A = = = = 3 − 14 − 11 − 2 11 + A − B A + B − 2 B B = = = = 3 − 14 17 − 2 17 − Substitusi A = − 2 11 dan B = − 2 17 pada persamaan ( 2 ) sehingga diperoleh nilai C berikut. 2 A + 3 B + C 2 ( − 2 11 ) + 3 ( − 2 17 ) + C − 11 − 2 51 + C C C C C = = = = = = = − 13 − 13 − 13 − 13 + 11 − 2 51 − 2 − 2 51 2 − 4 − 51 2 − 55 Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu x 2 + y 2 + A x + B y + C x 2 + y 2 − 2 11 x − 2 17 y − 2 55 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = = = 0 0 0 Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 11 x − 17 y − 55 = 0

Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran apabila diketahui tiga titik koordinatnya adalah sebagai berikut.

1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

2. Substitusi ketiga titik koordinatnya pada bentuk umum persamaan lingkaran tersebut sehingga diperoleh tiga persamaan.

3. Tentukan nilai $A$ , $B$ , dan $C$ .

4. Substitusi nilai $A$ , $B$ , dan $C$ pada bentuk umum persamaan lingkaran.

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

Akan ditunjukkan bahwa $PQ$ tegak lurus $QR$ .

Ingat! Jika dua garis saling tegak lurus, maka berlaku hubungan berikut.

$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Gradien garis $PQ$ yang melalui $P (- 2, 7)$ dan $Q (2, 3)$ , yaitu

$m_{1} = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{3 - 7}{2 + 2} - 1$

Gradien garis $QR$ yang melalui $Q (2, 3)$ dan $R (4, 5)$ , yaitu

$m_{2} = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{5 - 3}{4 - 2} 1$

Diperoleh hubungan $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \cdot 1 = - 1$ sehingga $PQ$ tegak lurus $QR$ .

Persamaan lingkaran yang melalui $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ dapat ditentukan sebagai berikut.

Substitusi $P (- 2, 7)$ , $Q (2, 3)$ , dan $R (4, 5)$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ .

Untuk $P (- 2, 7)$ diperoleh persamaan $(1)$ , yaitu

$(- 2)^{2} + 7^{2} - 2 A + 7 B + C - 2 A + 7 B + C = = 0 - 53$

Untuk $Q (2, 3)$ diperoleh persamaan $(2)$ , yaitu

$2^{2} + 3^{2} + 2 A + 3 B + C 2 A + 3 B + C = = 0 - 13$

Untuk $R (4, 5)$ diperoleh persamaan $(3)$ , yaitu

$4^{2} + 5^{2} + 4 A + 5 B + C 4 A + 5 B + C = = 0 - 41$

Eliminasi $C$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh persamaan $(4)$ berikut.

$- 2 A + 7 B + C 2 A + 3 B + C - 4 A + 4 B A - B = = = = - 53 - 41 - 12 3 -$

Eliminasi $C$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$ sehingga diperoleh persamaan $(5)$ berikut.

$2 A + 3 B + C 4 A + 5 B + C - 2 A - 2 B A + B = = = = - 13 - 41 28 - 14 -$

Dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ diperoleh nilai $A$ dan $B$ sebagai berikut.

$A - B A + B 2 A A = = = = 3 - 14 - 11 - \frac{11}{2} +$

$A - B A + B - 2 B B = = = = 3 - 14 17 - \frac{17}{2} -$

Substitusi $A = - \frac{11}{2}$ dan $B = - \frac{17}{2}$ pada persamaan $(2)$ sehingga diperoleh nilai $C$ berikut.

$2 A + 3 B + C 2 (- \frac{11}{2}) + 3 (- \frac{17}{2}) + C - 11 - \frac{51}{2} + C C C C C = = = = = = = - 13 - 13 - 13 - 13 + 11 - \frac{51}{2} - 2 - \frac{51}{2} \frac{- 4 - 51}{2} \frac{- 55}{2}$

Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C x^{2} + y^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{17}{2} y - \frac{55}{2} 2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = = = 000$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang melalui titik $P$ , $Q$ , dan $R$ adalah $2 x^{2} + 2 y^{2} - 11 x - 17 y - 55 = 0$

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: f. A ( 3 , 1 ) , B ( − 2 , 6 ) dan C ( − 5 , − 3 )

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik ( 4 , 0 ) , titik ( 0 , 4 ) , dan titik asal. Tentukan: a. Pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran. c. Persamaan lingkaran.

4.4

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik di bawah ini, kemudian gambar grafik lingkarannya: b. A ( 1 , 3 ) , B ( − 3 , − 5 ) dan C ( 6 , − 2 )

3.8

Jawaban terverifikasi

Hitunglah berapa nilai-nilai A , B , dan C . Jika lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 melalui ( 3 , 5 ) , ( − 2 , 4 ) , dan ( − 6 , − 2 ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik berikut! c. A ( 0 , − 1 ) , B ( 2 , 3 ) , dan C ( 1 , 6 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS