Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 2 satuan dan menyinggung garis 3 x + 3 y − 7 = 0 di titik ( 2 3 1 , 0 ) .

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari $2$ satuan dan menyinggung garis $3 x + 3 y - 7 = 0$ di titik $(2 \frac{1}{3}, 0)$ . $\;\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat rumus berikut! Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat ( x p , y p ) dan berjari-jari r adalah : Jawab: Untuk mempermudah mengerjakan soal, perhatikan ilustrasi gambar berikut: Pertama yang kita lakukan adalah mencari titik pusat dari lingkaran tersebut, dengan memanfaatkan garis yang menyinggung lingkaran tersebut. Persamaan 3 x + 3 y − 7 = 0 menyinggung persamaan lingkaran, sehingga kita dapat menghitung gradien garis tersebut, 3 x + 3 y − 7 3 y y m 1 = = = = 0 − 3 x + 7 3 − 3 x + 7 3 − 3 = − 1 Setelah itu kita dapat melihat dari ilustrasi gambar di atas, bahwa garis singgung lingkaran tersebut menyinggung lingkaran dan mengakibatkan jari-jari lingkaran tegak lurus dengan persamaan garis singgung, sehingga hubungan dari kedua gradien tersebut adalah, m 1 . m 2 − 1. m 2 m 2 m 2 = = = = − 1 − 1 − 1 − 1 1 Dikarenakan titik pusat ( x p , y p ) dan garis menyinggung di titik ( 2 3 1 , 0 ) sehingga dapat dicari gradien dari jari-jari adalah m 2 1 1 − x p + 3 7 y p = = = = = ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) ( 3 7 − x p ) ( 0 − y p ) ( 3 7 − x p ) − y p − y p x p − 3 7 Persamaan lingkaran melalui titik ( 2 3 1 , 0 ) dan berjari-jari r = 2 , sehingga didapat Setelah mendapat nilai dari y p , kita dapat mencari nilai x p y p y p = = 2 ⇒ x p = 2 + 3 7 − 2 ⇒ x p = − 2 + 3 7 Persamaan lingkaran yang didapat, ( 3 7 + 2 , 2 ) dan r = 2 ( x − ( 3 7 + 2 ) ) 2 + ( y − 2 ) 2 ( x − 3 7 − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = = 2 2 4 ( 3 7 − 2 , − 2 ) dan r = 2 ( x − ( 3 7 − 2 ) ) 2 + ( y − ( − 2 ) ) 2 ( x − 3 7 + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = = 2 2 4 Dengan demikianpersamaan lingkaran yang berjari-jari 2 satuan dan menyinggung garis 3 x + 3 y − 7 = 0 di titik ( 2 3 1 , 0 ) adalah ( x − 3 7 − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4 dan ( x − 3 7 + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 .

Ingat rumus berikut!

Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat $(x_{p}, y_{p})$ dan berjari-jari $r$ adalah :

Error converting from MathML to accessible text.

Jawab:

Untuk mempermudah mengerjakan soal, perhatikan ilustrasi gambar berikut:

Pertama yang kita lakukan adalah mencari titik pusat dari lingkaran tersebut, dengan memanfaatkan garis yang menyinggung lingkaran tersebut.

Persamaan $3 x + 3 y - 7 = 0$ menyinggung persamaan lingkaran, sehingga kita dapat menghitung gradien garis tersebut,

$3 x + 3 y - 7 3 y y m_{1} = = = = 0 - 3 x + 7 \frac{- 3 x + 7}{3} \frac{- 3}{3} = - 1$

Setelah itu kita dapat melihat dari ilustrasi gambar di atas, bahwa garis singgung lingkaran tersebut menyinggung lingkaran dan mengakibatkan jari-jari lingkaran tegak lurus dengan persamaan garis singgung, sehingga hubungan dari kedua gradien tersebut adalah,

$m_{1} . m_{2} - 1. m_{2} m_{2} m_{2} = = = = - 1 - 1 \frac{- 1}{- 1} 1$

Dikarenakan titik pusat $(x_{p}, y_{p})$ dan garis menyinggung di titik $(2 \frac{1}{3}, 0)$ sehingga dapat dicari gradien dari jari-jari adalah

$m_{2} 11 - x_{p} + \frac{7}{3} y_{p} = = = = = \frac{( y _{2} - y _{1} )}{( x _{2} - x _{1} )} \frac{( 0 - y _{p} )}{( \frac{7}{3} - x _{p} )} \frac{- y _{p}}{( \frac{7}{3} - x _{p} )} - y_{p} x_{p} - \frac{7}{3}$

Persamaan lingkaran melalui titik $(2 \frac{1}{3}, 0)$ dan berjari-jari $r = 2$ , sehingga didapat

Error converting from MathML to accessible text.

Setelah mendapat nilai dari $y_{p}$ , kita dapat mencari nilai $x_{p}$

$y_{p} y_{p} = = 2 \Rightarrow x_{p} = 2 + \frac{7}{3} - 2 \Rightarrow x_{p} = - 2 + \frac{7}{3}$

Persamaan lingkaran yang didapat,

$(\frac{7}{3} + 2, 2) dan r = 2$

$(x - (\frac{7}{3} + 2))^{2} + (y - 2)^{2} (x - \frac{7}{3} - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = = 2^{2} 4$

$(\frac{7}{3} - 2, - 2) dan r = 2$

$(x - (\frac{7}{3} - 2))^{2} + (y - (- 2))^{2} (x - \frac{7}{3} + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = = 2^{2} 4$

Dengan demikian persamaan lingkaran yang berjari-jari $2$ satuan dan menyinggung garis $3 x + 3 y - 7 = 0$ di titik $(2 \frac{1}{3}, 0)$ adalah $(x - \frac{7}{3} - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ dan $(x - \frac{7}{3} + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ . $\;\;$