Pertanyaan

Jika lingkaran x 2 + y 2 − a x + b y − c = 0 yang berpusat di titik ( − 2 , 1 ) menyinggung garis y = 2 x − 5 , nilai ( a − b + c ) adalah ....

Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} - a x + b y - c = 0$ yang berpusat di titik $(- 2, 1)$ menyinggung garis $y = 2 x - 5$ , nilai $(a - b + c)$ adalah ....

$11$
$13$
$15$
$17$
$21$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah B.

Pembahasan

Ingat! Lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan menyinggung garis A x + B y + C = 0 mempunyai jari-jari: r = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 A , − 2 B ) dan berjari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan konsep tersebut makalingkaran x 2 + y 2 − a x + b y − c = 0 berpusat di titik ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 − a , − 2 b ) ( 2 a , − 2 b ) 2 a − 2 b = = = = = ( − 2 , 1 ) ( − 2 , 1 ) ( − 2 , 1 ) − 2 ⇔ a = − 2 ⋅ 2 = − 4 1 ⇔ b = 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 dan berjari-jari r = = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − a ) 2 + 4 1 ( b ) 2 − ( − c ) 4 a 2 + 4 b 2 + c 4 ( − 4 ) 2 + 4 ( − 2 ) 2 + c 4 16 + 4 4 + c 4 + 1 + c 5 + c ...() Lingkaran yang berpusat di ( − 2 , 1 ) dan menyinggung garis y = 2 x − 5 ⇔ 2 x − y − 5 = 0 mempunyai jari-jari: r = = = = = = = = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ ∣ ∣ ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 2 ⋅ ( − 2 ) + ( − 1 ) ⋅ 1 − 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 + 1 − 4 − 1 − 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 10 ∣ ∣ 5 10 5 10 × 5 5 5 10 5 2 5 ...() Substitusikan () ke () menjadi r 2 5 ( 2 5 ) 2 4 ⋅ 5 20 c c = = = = = = = 5 + c 5 + c ( Kuadratkan kedua ruas ) ( 5 + c ) 2 5 + c 5 + c 20 − 5 15 Dengan demikiandiperoleh nilai a = − 4 , b = − 2 dan c = 15 sehingga nilai a − b + c = = = − 4 − ( − 2 ) + 15 − 4 + 2 + 15 13 Jadi, jika lingkaran x 2 + y 2 − a x + b y − c = 0 yang berpusat di titik ( − 2 , 1 ) menyinggung garis y = 2 x − 5 , nilai ( a − b + c ) adalah 13 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Ingat!

Lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan menyinggung garis $A x + B y + C = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan konsep tersebut maka lingkaran $x^{2} + y^{2} - a x + b y - c = 0$ berpusat di titik

$(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{- a}{2}, - \frac{b}{2}) (\frac{a}{2}, - \frac{b}{2}) \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = = = = = (- 2, 1) (- 2, 1) (- 2, 1) - 2 \Leftrightarrow a = - 2 \cdot 2 = - 4 1 \Leftrightarrow b = 1 \cdot (- 2) = - 2$

dan berjari-jari

$r = = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- a)^{2} + \frac{1}{4} (b)^{2} - (- c) \frac{a ^{2}}{4} + \frac{b ^{2}}{4} + c \frac{( - 4 ) ^{2}}{4} + \frac{( - 2 ) ^{2}}{4} + c \frac{16}{4} + \frac{4}{4} + c 4 + 1 + c 5 + c$ ...(*)

Lingkaran yang berpusat di $(- 2, 1)$ dan menyinggung garis $y = 2 x - 5 \Leftrightarrow 2 x - y - 5 = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot ( - 2 ) + ( - 1 ) \cdot 1 - 5}{( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 4 - 1 - 5}{4 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 10}{5} ∣ ∣ \frac{10}{5} \frac{10}{5} \times \frac{5}{5} \frac{10}{5} 5 25$ ...(**)

Substitusikan (**) ke (*) menjadi

$r 25 (25)^{2} 4 \cdot 5 20 c c = = = = = = = 5 + c 5 + c (Kuadratkan kedua ruas) (5 + c)^{2} 5 + c 5 + c 20 - 5 15$

Dengan demikian diperoleh nilai $a = - 4, b = - 2 dan c = 15$ sehingga nilai

$a - b + c = = = - 4 - (- 2) + 15 - 4 + 2 + 15 13$

Jadi, jika lingkaran $x^{2} + y^{2} - a x + b y - c = 0$ yang berpusat di titik $(- 2, 1)$ menyinggung garis $y = 2 x - 5$ , nilai $(a - b + c)$ adalah $13$ .