Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan, x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik A ( 5 , 5 ) .

Tentukan persamaan lingkaran dengan jari-jari $5$ satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan,

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$

di titik $A (5, 5)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik A ( 5 , 5 ) adalah x 2 + y 2 − 18 x − 16 y + 93 = 0 .

persamaan lingkaran dengan jari-jari

5

satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0

di titik

A (5, 5)

adalah

x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 93 = 0

Pembahasan

Misalakan: L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 L 2 adalah persamaan lingkaran yang akan ditentukan Langakah pertama, cari titik pusat dan panjang jari-jari L 1 x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 x 2 − 2 x + y 2 − 4 y ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 − 4 y + 4 ) ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = = = = 0 20 20 + 1 + 4 25 Pusat lingkaran L 1 = M = ( 1 , 2 ) , panjang jari-jari L 1 = R = 5 satuan Langkah kedua tenentukan pusat L 2 . Pusat L 1 , titik singgung L 1 dan L 2 akan berada pada satu garis. Misalkan pusat L 2 = N = ( p , q ) maka M ( 1 , 2 ) , A ( 5 , 5 ) , dan N ( p , q ) ada pada satu garis yang sama dengan jarak A N = r = 5 satuan dan jarak MN = R + r = 5 + 5 = 10 satuan. Persamaan garis yang melalui titik M , A , dan N adalah: ( 5 − 1 ) ( x − 1 ) 4 ( x − 1 ) 3 ( x − 1 ) 3 x − 3 3 x − 4 y − 3 + 8 3 x − 4 y + 5 = = = = = = ( 5 − 2 ) ( y − 2 ) 3 ( y − 2 ) 4 ( y − 2 ) 4 y − 8 0 0 ( p , q ) terletak pada garis 3 x − 4 y + 5 = 0 , maka 3 p − 4 q + 5 3 p p = = = 0 4 q − 5 3 4 q − 3 5 Selanjutnya hitung ( A N ) 2 dan ( MN ) 2 diperoleh: ( A N ) 2 5 2 25 0 ( MN ) 2 1 0 2 100 0 = = = = = = = = ( p − 5 ) 2 + ( q − 5 ) 2 p 2 − 10 p + 25 + q 2 − 10 q + 25 p 2 + q 2 − 10 p − 10 q + 50 p 2 + q 2 − 10 p − 10 q + 25 ( p − 1 ) 2 + ( q − 2 ) 2 p 2 − 2 p + 1 + q 2 − 4 q + 4 p 2 + q 2 − 2 p − 4 q + 5 p 2 + q 2 − 2 p − 4 q − 95 Eliminasi x 2 dan y 2 dari kedua persamaan di atas diperoleh 8 p + 6 q − 120 = 0 . Substitusikan nilai p = 3 4 q − 3 5 8 ( 3 4 q − 3 5 ) + 6 q − 120 3 32 q − 3 40 + 6 q − 120 3 32 q + 3 18 q 3 50 q q = = = = = 0 0 120 + 3 40 3 400 8 Akibatnya, p = 3 4 q − 3 5 = 3 4 ( 8 ) − 3 5 = 9 Diperoleh pusat lingkaran L 2 = ( 9 , 8 ) Persamaan lingkaran L 2 adalah ( x − 9 ) 2 + ( y − 8 ) 2 x 2 + y 2 − 18 x + 81 + y 2 − 16 y + 64 x 2 + y 2 − 18 x − 16 y + 93 = = = 52 52 0 Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik A ( 5 , 5 ) adalah x 2 + y 2 − 18 x − 16 y + 93 = 0 .

Misalakan:

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$

$L_{2}$ adalah persamaan lingkaran yang akan ditentukan

Langakah pertama, cari titik pusat dan panjang jari-jari $L_{1}$

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = = = = 020 20 + 1 + 4 25$

Pusat lingkaran $L_{1} = M = (1, 2)$ , panjang jari-jari $L_{1} = R = 5$ satuan

Langkah kedua tenentukan pusat $L_{2}$ . Pusat $L_{1}$ , titik singgung $L_{1}$ dan $L_{2}$ akan berada pada satu garis. Misalkan pusat $L_{2} = N = (p, q)$ maka $M (1, 2), A (5, 5), dan N (p, q)$ ada pada satu garis yang sama dengan jarak $A N = r = 5$ satuan dan jarak $MN = R + r = 5 + 5 = 10$ satuan.

Persamaan garis yang melalui titik $M, A, dan N$ adalah:

$\frac{( x - 1 )}{( 5 - 1 )} \frac{( x - 1 )}{4} 3 (x - 1) 3 x - 3 3 x - 4 y - 3 + 8 3 x - 4 y + 5 = = = = = = \frac{( y - 2 )}{( 5 - 2 )} \frac{( y - 2 )}{3} 4 (y - 2) 4 y - 8 00$

$(p, q)$ terletak pada garis $3 x - 4 y + 5 = 0$ , maka

$3 p - 4 q + 5 3 p p = = = 0 4 q - 5 \frac{4}{3} q - \frac{5}{3}$

Selanjutnya hitung $(A N)^{2} dan (MN)^{2}$ diperoleh:

$(A N)^{2} 5^{2} 250 (MN)^{2} 1 0^{2} 1000 = = = = = = = = (p - 5)^{2} + (q - 5)^{2} p^{2} - 10 p + 25 + q^{2} - 10 q + 25 p^{2} + q^{2} - 10 p - 10 q + 50 p^{2} + q^{2} - 10 p - 10 q + 25 (p - 1)^{2} + (q - 2)^{2} p^{2} - 2 p + 1 + q^{2} - 4 q + 4 p^{2} + q^{2} - 2 p - 4 q + 5 p^{2} + q^{2} - 2 p - 4 q - 95$

Eliminasi $x^{2} dan y^{2}$ dari kedua persamaan di atas diperoleh $8 p + 6 q - 120 = 0$ . Substitusikan nilai $p = \frac{4}{3} q - \frac{5}{3}$

$8 (\frac{4}{3} q - \frac{5}{3}) + 6 q - 120 \frac{32}{3} q - \frac{40}{3} + 6 q - 120 \frac{32}{3} q + \frac{18}{3} q \frac{50}{3} q q = = = = = 00 120 + \frac{40}{3} \frac{400}{3} 8$

Akibatnya, $p = \frac{4}{3} q - \frac{5}{3} = \frac{4}{3} (8) - \frac{5}{3} = 9$

Diperoleh pusat lingkaran $L_{2} = (9, 8)$

Persamaan lingkaran $L_{2}$ adalah

$(x - 9)^{2} + (y - 8)^{2} x^{2} + y^{2} - 18 x + 81 + y^{2} - 16 y + 64 x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 93 = = = 52520$

Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan jari-jari $5$ satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ di titik $A (5, 5)$ adalah $x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 93 = 0$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (6 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui dua lingkaran dengan masing-masing persamaannya adalah x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 6 = 0 dan x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 4 = 0 . Kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah...

4.6

Jawaban terverifikasi

Lingkaran yang bersinggungan dengan lingkaran x 2 + y 2 = 9 adalah lingkaran....

4.3

Jawaban terverifikasi

Dua ekor burung elang bergerak melingkar di udara. Lintasan dari pergerakan dua burung elang tersebut membentuk suatu lingkaran L 1 dan L 2 . Persamaan lingkaran L 1 dan L 2 yang mewakili perg...

5.0

Jawaban terverifikasi

Dua roda saling bersinggungan, roda pusat P jari-jari 5 cm danroda pusat Q jari-jari 20 cm . Kedua roda dihubungkan dengan rantai, tentukan panjang rantai.

1.0

Jawaban terverifikasi

Empat lingkaran kongruen berjari-jari r cm , saling bersinggungan. Jika d = diameter lingkaran . Tentukan luas daerah yang diarsir dalam d dan π .

0.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS