Tentukan persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan, x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik A ( 5 , 5 ) .

Pembahasan

Misalakan: L 1 ​ ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 L 2 ​ adalah persamaan lingkaran yang akan ditentukan Langakah pertama, cari titik pusat dan panjang jari-jari L 1 ​ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 x 2 − 2 x + y 2 − 4 y ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 − 4 y + 4 ) ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 ​ = = = = ​ 0 20 20 + 1 + 4 25 ​ Pusat lingkaran L 1 ​ = M = ( 1 , 2 ) , panjang jari-jari L 1 ​ = R = 5 satuan Langkah kedua tenentukan pusat L 2 ​ . Pusat L 1 ​ , titik singgung L 1 ​ dan L 2 ​ akan berada pada satu garis. Misalkan pusat L 2 ​ = N = ( p , q ) maka M ( 1 , 2 ) , A ( 5 , 5 ) , dan N ( p , q ) ada pada satu garis yang sama dengan jarak A N = r = 5 satuan dan jarak MN = R + r = 5 + 5 = 10 satuan. Persamaan garis yang melalui titik M , A , dan N adalah: ( 5 − 1 ) ( x − 1 ) ​ 4 ( x − 1 ) ​ 3 ( x − 1 ) 3 x − 3 3 x − 4 y − 3 + 8 3 x − 4 y + 5 ​ = = = = = = ​ ( 5 − 2 ) ( y − 2 ) ​ 3 ( y − 2 ) ​ 4 ( y − 2 ) 4 y − 8 0 0 ​ ( p , q ) terletak pada garis 3 x − 4 y + 5 = 0 , maka 3 p − 4 q + 5 3 p p ​ = = = ​ 0 4 q − 5 3 4 ​ q − 3 5 ​ ​ Selanjutnya hitung ( A N ) 2 dan ( MN ) 2 diperoleh: ( A N ) 2 5 2 25 0 ( MN ) 2 1 0 2 100 0 ​ = = = = = = = = ​ ( p − 5 ) 2 + ( q − 5 ) 2 p 2 − 10 p + 25 + q 2 − 10 q + 25 p 2 + q 2 − 10 p − 10 q + 50 p 2 + q 2 − 10 p − 10 q + 25 ( p − 1 ) 2 + ( q − 2 ) 2 p 2 − 2 p + 1 + q 2 − 4 q + 4 p 2 + q 2 − 2 p − 4 q + 5 p 2 + q 2 − 2 p − 4 q − 95 ​ Eliminasi x 2 dan y 2 dari kedua persamaan di atas diperoleh 8 p + 6 q − 120 = 0 . Substitusikan nilai p = 3 4 ​ q − 3 5 ​ 8 ( 3 4 ​ q − 3 5 ​ ) + 6 q − 120 3 32 ​ q − 3 40 ​ + 6 q − 120 3 32 ​ q + 3 18 ​ q 3 50 ​ q q ​ = = = = = ​ 0 0 120 + 3 40 ​ 3 400 ​ 8 ​ Akibatnya, p = 3 4 ​ q − 3 5 ​ = 3 4 ​ ( 8 ) − 3 5 ​ = 9 Diperoleh pusat lingkaran L 2 ​ = ( 9 , 8 ) Persamaan lingkaran L 2 ​ adalah ( x − 9 ) 2 + ( y − 8 ) 2 x 2 + y 2 − 18 x + 81 + y 2 − 16 y + 64 x 2 + y 2 − 18 x − 16 y + 93 ​ = = = ​ 52 52 0 ​ Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik A ( 5 , 5 ) adalah x 2 + y 2 − 18 x − 16 y + 93 ​ = ​ 0 ​ .