Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik di luar lingkaran yang diketahui berikut. b. x 2 + y 2 = 1 ; ( 0 , 2 )

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik di luar lingkaran yang diketahui berikut.

b. $x^{2} + y^{2} = 1$ ; $(0, 2)$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singgung di lingkaran x 2 + y 2 = 1 yang ditarik dari titik luar (0,2) adalah − 3 x + y − 2 = 0 dan 3 x + y − 2 = 0 .

persamaan garis singgung di lingkaran

x^{2} + y^{2} = 1

yang ditarik dari titik luar (0,2) adalah

- 3 x + y - 2 = 0

dan

3 x + y - 2 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah − 3 x + y − 2 = 0 dan 3 x + y − 2 = 0 . Dalam menemukan persamaan garis singgung lingkaran dengan bentuk di atas, maka harus dikerjakan dalam beberapa tahapan - tahapan. 1. Menentukan titik pusat dan jari - jari lingkaran serta mengubah bentuk persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 1 Berdasarkan persamaan lingkaran yang ada, maka dapat diketahui bahwa lingkaran memiliki pusat P (0,0) dan berjari - jari 1 atau 1. 2. Menentukan persamaan garis kutub lingkaran yang ada ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 ( 0 − 0 ) ( x − 0 ) + ( 2 − 0 ) ( y − 0 ) = 1 2 y − 0 = 1 y = 2 1 3. Mensubtitusikan persamaan garis kutub ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 1 x 2 + ( 2 1 ) 2 = 1 x 2 + 4 1 = 1 x 2 + 4 1 = 1 x 2 − 4 3 = 0 Maka, nilai x adalah − 2 1 3 atau 2 1 3 , sehingga titik singgung beradai di T 1 ( − 2 1 3 , 2 1 ) danT 2 ( 2 1 3 , 2 1 ) 4. Menentukan persamaan garis singgung berdasarkan titik singgung yang ada Persamaan garis singgung ke - 1 denganT 1 ( − 2 1 3 , 2 1 ) : ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 ( − 2 1 3 − 0 ) ( x − 0 ) + ( 2 1 − 0 ) ( y − 0 ) = 1 − 2 1 3 x + 2 1 y = 1 − 2 1 3 x + 2 1 y − 1 = 0 atau − 3 x + y − 2 = 0 Persamaan garis singgung ke - 2denganT 2 ( 2 1 3 , 2 1 ) : ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 ( 2 1 3 − 0 ) ( x − 0 ) + ( 2 1 − 0 ) ( y − 0 ) = 1 2 1 3 x + 2 1 y = 1 2 1 3 x + 2 1 y − 1 = 0 atau 3 x + y − 2 = 0 Dengan demikian, persamaan garis singgung di lingkaran x 2 + y 2 = 1 yang ditarik dari titik luar (0,2) adalah − 3 x + y − 2 = 0 dan 3 x + y − 2 = 0 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $- 3 x + y - 2 = 0$ dan $3 x + y - 2 = 0$ .

Dalam menemukan persamaan garis singgung lingkaran dengan bentuk di atas, maka harus dikerjakan dalam beberapa tahapan - tahapan.

1. Menentukan titik pusat dan jari - jari lingkaran serta mengubah bentuk persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} = 1$

Berdasarkan persamaan lingkaran yang ada, maka dapat diketahui bahwa lingkaran memiliki pusat P (0,0) dan berjari - jari $1$ atau 1.

2. Menentukan persamaan garis kutub lingkaran yang ada

$(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$

$(0 - 0) (x - 0) + (2 - 0) (y - 0) = 1$

$2 y - 0 = 1$

$y = \frac{1}{2}$

3. Mensubtitusikan persamaan garis kutub ke dalam persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} = 1$

$x^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = 1$

$x^{2} + \frac{1}{4} = 1$

$x^{2} - \frac{3}{4} = 0$

Maka, nilai x adalah $- \frac{1}{2} 3$ atau $\frac{1}{2} 3$ , sehingga titik singgung beradai di T₁ ( $- \frac{1}{2} 3$ , $\frac{1}{2}$ ) dan T2 ( $\frac{1}{2} 3$ , $\frac{1}{2}$ )

4. Menentukan persamaan garis singgung berdasarkan titik singgung yang ada

Persamaan garis singgung ke - 1 dengan T₁ ( $- \frac{1}{2} 3$ , $\frac{1}{2}$ ) :

$(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$

$(- \frac{1}{2} 3 - 0) (x - 0) + (\frac{1}{2} - 0) (y - 0) = 1$

$- \frac{1}{2} 3 x + \frac{1}{2} y = 1$

$- \frac{1}{2} 3 x + \frac{1}{2} y - 1 =$ 0

atau

$- 3 x + y - 2 = 0$

Persamaan garis singgung ke - 2 dengan T2 ( $\frac{1}{2} 3$ , $\frac{1}{2}$ ) :

$(x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}$

$(\frac{1}{2} 3 - 0) (x - 0) + (\frac{1}{2} - 0) (y - 0) = 1$

$\frac{1}{2} 3 x + \frac{1}{2} y = 1$

$\frac{1}{2} 3 x + \frac{1}{2} y - 1 =$ 0

atau

$3 x + y - 2 = 0$

Dengan demikian, persamaan garis singgung di lingkaran $x^{2} + y^{2} = 1$ yang ditarik dari titik luar (0,2) adalah $- 3 x + y - 2 = 0$ dan $3 x + y - 2 = 0$ .