Iklan

Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 melalui titik ( 0 , 0 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran.

 melalui titik .

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

02

:

16

:

10

:

06

Klaim

Iklan

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y ​ = ​ 0 ​ atau 2 x − y ​ = ​ 0 ​ .

didapat persamaan garis singgungnya adalah   atau .

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yang melalui titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y + 2 A ​ ( x 1 ​ + x ) + 2 B ​ ( y 2 ​ + y ) + C = 0 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal ( x 2 ​ , y 2 ​ ) dan ( x 3 ​ , y 3 ​ ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan titik singgung ( x 2 ​ , y 2 ​ ) atau ( x 3 ​ , y 3 ​ ) menggunakan rumus. y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ = x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 dan titik ( 0 , 0 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 − 6 ( 0 ) − 8 ( 0 ) + 20 ​ = = = ​ 0 0 + 0 + 0 + 0 + 20 20 ​ Karena x 2 + y 2 + A x + B y + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y + 2 A ​ ( x 1 ​ + x ) + 2 B ​ ( y 2 ​ + y ) + C ( 0 ) x + ( 0 ) y + 2 ( − 6 ) ​ (( 0 ) + x ) + 2 ( − 8 ) ​ (( 0 ) + y ) + 20 0 + 0 − 3 x − 4 y + 20 − 3 x − 4 y + 20 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − 3 x − 4 y + 20 − 3 x x ​ = = = ​ 0 4 y − 20 − 3 4 y − 20 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( − 3 4 y − 20 ​ ) 2 + y 2 − 6 ( − 3 4 y − 20 ​ ) − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 ​ + y 2 + 8 y − 40 − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 ​ + y 2 − 20 16 y 2 − 160 y + 400 + 9 y 2 − 180 25 y 2 − 160 y + 220 5 y 2 − 32 y + 44 ( 5 y − 22 ) ( y − 2 ) ​ = = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 0 0 ​ Sehingga didapat pembuat nol nya adalah 5 y − 22 5 y y ​ = = = ​ 0 22 5 22 ​ ​ atau y − 2 y ​ = = ​ 0 2 ​ Untuk y = 5 22 ​ maka nilai x adalah x ​ = = = = = = ​ − 3 4 y − 20 ​ − 3 4 ( 5 22 ​ ) − 20 ​ − 3 5 88 ​ − 5 100 ​ ​ − 3 5 12 ​ ​ 5 12 ​ ⋅ − 3 1 ​ − 5 4 ​ ​ Didapat titik singgung yang pertama adalah ( − 5 4 ​ , 5 22 ​ ) . Untuk y = 2 maka nilai x adalah x ​ = = = = = ​ − 3 4 y − 20 ​ − 3 4 ( 2 ) − 20 ​ − 3 8 − 20 ​ − 3 − 12 ​ 4 ​ Didapat titik singgung yang kedua adalah ( 4 , 2 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( − 5 4 ​ , 5 22 ​ ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 5 22 ​ ) − ( 0 ) y − ( 0 ) ​ 5 22 ​ y ​ − 5 4 ​ ( y ) − 4 y 0 22 x + 4 y 11 x + 2 y ​ = = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( − 5 4 ​ ) − ( 0 ) x − ( 0 ) ​ − 5 4 ​ x ​ 5 22 ​ ( x ) 22 x 22 x + 4 y 0 0 ​ Didapat persamaan garis singgung 11 x + 2 y ​ = ​ 0 ​ . Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( 4 , 2 ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 4 ) − ( 0 ) y − ( 0 ) ​ 4 y ​ 2 ( y ) 0 4 x − 2 y 2 x − y ​ = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( 2 ) − ( 0 ) x − ( 0 ) ​ 2 x ​ 4 ( x ) 4 x − 2 y 0 0 ​ Didapat persamaan garis singgung 2 x − y ​ = ​ 0 ​ . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y ​ = ​ 0 ​ atau 2 x − y ​ = ​ 0 ​ .

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingakaran  yang melalui titik   di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

Mencari persamaan garis polar.  

 Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal .

 Mencari persamaan garis singgung dari titik  dan titik singgung   menggunakan rumus.

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran   dan titik  maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran.

Karena   maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 

 Mencari persamaan garis polar.

 Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

Substitusikan ke persamaan lingkaran

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

 

atau

Untuk  maka nilai  adalah

Didapat titik singgung yang pertama adalah .

Untuk  maka nilai  adalah

Didapat titik singgung yang kedua adalah .

 Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik  dan titik singgung  

Didapat persamaan garis singgung .

Untuk titik  dan titik singgung 

Didapat persamaan garis singgung .

Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah   atau .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

7

Iklan

Pertanyaan serupa

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik di luar lingkaran yang diketahui berikut. b. x 2 + y 2 = 1 ; ( 0 , 2 )

2

3.6

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia