Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 melalui titik ( 0 , 0 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 = 0$ melalui titik $(0, 0)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y = 0 atau 2 x − y = 0 .

didapat persamaan garis singgungnya adalah

11 x + 2 y = 0

atau

2 x - y = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C = 0 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal ( x 2 , y 2 ) dan ( x 3 , y 3 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 , y 1 ) dan titik singgung ( x 2 , y 2 ) atau ( x 3 , y 3 ) menggunakan rumus. y 2 − y 1 y − y 1 = x 2 − x 1 x − x 1 Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 dan titik ( 0 , 0 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 − 6 ( 0 ) − 8 ( 0 ) + 20 = = = 0 0 + 0 + 0 + 0 + 20 20 Karena x 2 + y 2 + A x + B y + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C ( 0 ) x + ( 0 ) y + 2 ( − 6 ) (( 0 ) + x ) + 2 ( − 8 ) (( 0 ) + y ) + 20 0 + 0 − 3 x − 4 y + 20 − 3 x − 4 y + 20 = = = = 0 0 0 0 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − 3 x − 4 y + 20 − 3 x x = = = 0 4 y − 20 − 3 4 y − 20 Substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( − 3 4 y − 20 ) 2 + y 2 − 6 ( − 3 4 y − 20 ) − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 + y 2 + 8 y − 40 − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 + y 2 − 20 16 y 2 − 160 y + 400 + 9 y 2 − 180 25 y 2 − 160 y + 220 5 y 2 − 32 y + 44 ( 5 y − 22 ) ( y − 2 ) = = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 Sehingga didapat pembuat nol nya adalah 5 y − 22 5 y y = = = 0 22 5 22 atau y − 2 y = = 0 2 Untuk y = 5 22 maka nilai x adalah x = = = = = = − 3 4 y − 20 − 3 4 ( 5 22 ) − 20 − 3 5 88 − 5 100 − 3 5 12 5 12 ⋅ − 3 1 − 5 4 Didapat titik singgung yang pertama adalah ( − 5 4 , 5 22 ) . Untuk y = 2 maka nilai x adalah x = = = = = − 3 4 y − 20 − 3 4 ( 2 ) − 20 − 3 8 − 20 − 3 − 12 4 Didapat titik singgung yang kedua adalah ( 4 , 2 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( − 5 4 , 5 22 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 5 22 ) − ( 0 ) y − ( 0 ) 5 22 y − 5 4 ( y ) − 4 y 0 22 x + 4 y 11 x + 2 y = = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( − 5 4 ) − ( 0 ) x − ( 0 ) − 5 4 x 5 22 ( x ) 22 x 22 x + 4 y 0 0 Didapat persamaan garis singgung 11 x + 2 y = 0 . Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( 4 , 2 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 4 ) − ( 0 ) y − ( 0 ) 4 y 2 ( y ) 0 4 x − 2 y 2 x − y = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( 2 ) − ( 0 ) x − ( 0 ) 2 x 4 ( x ) 4 x − 2 y 0 0 Didapat persamaan garis singgung 2 x − y = 0 . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y = 0 atau 2 x − y = 0 .

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingakaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

$1)$ Mencari persamaan garis polar. $x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C = 0$ .

$2)$ Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal $(x_{2}, y_{2}) dan (x_{3}, y_{3})$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ dan titik singgung $(x_{2}, y_{2}) atau (x_{3}, y_{3})$ menggunakan rumus.

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 = 0$ dan titik $(0, 0)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 (0)^{2} + (0)^{2} - 6 (0) - 8 (0) + 20 = = = 0 0 + 0 + 0 + 0 + 20 20$

Karena $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C > 0$ maka titik berada di luar lingkaran. Jadi

$1)$ Mencari persamaan garis polar.

$x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C (0) x + (0) y + \frac{( - 6 )}{2} ((0) + x) + \frac{( - 8 )}{2} ((0) + y) + 20 0 + 0 - 3 x - 4 y + 20 - 3 x - 4 y + 20 = = = = 0000$

$2)$ Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

$- 3 x - 4 y + 20 - 3 x x = = = 0 4 y - 20 \frac{4 y - 20}{- 3}$

Substitusikan ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 (\frac{4 y - 20}{- 3})^{2} + y^{2} - 6 (\frac{4 y - 20}{- 3}) - 8 y + 20 \frac{16 y ^{2} - 160 y + 400}{9} + y^{2} + 8 y - 40 - 8 y + 20 \frac{16 y ^{2} - 160 y + 400}{9} + y^{2} - 20 16 y^{2} - 160 y + 400 + 9 y^{2} - 180 25 y^{2} - 160 y + 220 5 y^{2} - 32 y + 44 (5 y - 22) (y - 2) = = = = = = = = 00000000$

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

$5 y - 22 5 y y = = = 022 \frac{22}{5}$

atau

$y - 2 y = = 02$

Untuk $y = \frac{22}{5}$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = = = \frac{4 y - 20}{- 3} \frac{4 ( \frac{22}{5} ) - 20}{- 3} \frac{\frac{88}{5} - \frac{100}{5}}{- 3} \frac{\frac{12}{5}}{- 3} \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{- 3} - \frac{4}{5}$

Didapat titik singgung yang pertama adalah $(- \frac{4}{5}, \frac{22}{5})$ .

Untuk $y = 2$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = = \frac{4 y - 20}{- 3} \frac{4 ( 2 ) - 20}{- 3} \frac{8 - 20}{- 3} \frac{- 12}{- 3} 4$

Didapat titik singgung yang kedua adalah $(4, 2)$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik $(0, 0)$ dan titik singgung $(- \frac{4}{5}, \frac{22}{5})$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 0 )}{( \frac{22}{5} ) - ( 0 )} \frac{y}{\frac{22}{5}} - \frac{4}{5} (y) - 4 y 0 22 x + 4 y 11 x + 2 y = = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 0 )}{( - \frac{4}{5} ) - ( 0 )} \frac{x}{- \frac{4}{5}} \frac{22}{5} (x) 22 x 22 x + 4 y 00$

Didapat persamaan garis singgung $11 x + 2 y = 0$ .

Untuk titik $(0, 0)$ dan titik singgung $(4, 2)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 0 )}{( 4 ) - ( 0 )} \frac{y}{4} 2 (y) 0 4 x - 2 y 2 x - y = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 0 )}{( 2 ) - ( 0 )} \frac{x}{2} 4 (x) 4 x - 2 y 00$

Didapat persamaan garis singgung $2 x - y = 0$ .

Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah $11 x + 2 y = 0$ atau $2 x - y = 0$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (9 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui lingkaran berpusat di titik ( 6 , 4 ) dan melalui titik ( 2 , 1 ) . Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang tegak lurus garis 12 x + 5 y + 3 = 0 adalah ....

4.5

Jawaban terverifikasi

Gradien yang bernilai negatif dari persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 5 yang melalui titik ( 3 , 1 ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Dua buah lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = 4 dan x 2 + y 2 = 7 . Tentukanlah: b. persamaan garis yang melalui titik ( 4 , 12 0 ∘ ) dan titik ( 7 , 0 ) ;

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + ( y − 1 ) 2 = 25 yang dapat ditarik dari titik ( 7 , 2 ) !

5.0

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung dari titik ( − 3 , 0 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = 6 adalah ....

4.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS