Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 melalui titik ( 0 , 0 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 = 0$ melalui titik $(0, 0)$ .

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y = 0 atau 2 x − y = 0 .

didapat persamaan garis singgungnya adalah

11 x + 2 y = 0

atau

2 x - y = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C = 0 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal ( x 2 , y 2 ) dan ( x 3 , y 3 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 , y 1 ) dan titik singgung ( x 2 , y 2 ) atau ( x 3 , y 3 ) menggunakan rumus. y 2 − y 1 y − y 1 = x 2 − x 1 x − x 1 Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 dan titik ( 0 , 0 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 − 6 ( 0 ) − 8 ( 0 ) + 20 = = = 0 0 + 0 + 0 + 0 + 20 20 Karena x 2 + y 2 + A x + B y + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C ( 0 ) x + ( 0 ) y + 2 ( − 6 ) (( 0 ) + x ) + 2 ( − 8 ) (( 0 ) + y ) + 20 0 + 0 − 3 x − 4 y + 20 − 3 x − 4 y + 20 = = = = 0 0 0 0 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − 3 x − 4 y + 20 − 3 x x = = = 0 4 y − 20 − 3 4 y − 20 Substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 ( − 3 4 y − 20 ) 2 + y 2 − 6 ( − 3 4 y − 20 ) − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 + y 2 + 8 y − 40 − 8 y + 20 9 16 y 2 − 160 y + 400 + y 2 − 20 16 y 2 − 160 y + 400 + 9 y 2 − 180 25 y 2 − 160 y + 220 5 y 2 − 32 y + 44 ( 5 y − 22 ) ( y − 2 ) = = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 Sehingga didapat pembuat nol nya adalah 5 y − 22 5 y y = = = 0 22 5 22 atau y − 2 y = = 0 2 Untuk y = 5 22 maka nilai x adalah x = = = = = = − 3 4 y − 20 − 3 4 ( 5 22 ) − 20 − 3 5 88 − 5 100 − 3 5 12 5 12 ⋅ − 3 1 − 5 4 Didapat titik singgung yang pertama adalah ( − 5 4 , 5 22 ) . Untuk y = 2 maka nilai x adalah x = = = = = − 3 4 y − 20 − 3 4 ( 2 ) − 20 − 3 8 − 20 − 3 − 12 4 Didapat titik singgung yang kedua adalah ( 4 , 2 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( − 5 4 , 5 22 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 5 22 ) − ( 0 ) y − ( 0 ) 5 22 y − 5 4 ( y ) − 4 y 0 22 x + 4 y 11 x + 2 y = = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( − 5 4 ) − ( 0 ) x − ( 0 ) − 5 4 x 5 22 ( x ) 22 x 22 x + 4 y 0 0 Didapat persamaan garis singgung 11 x + 2 y = 0 . Untuk titik ( 0 , 0 ) dan titik singgung ( 4 , 2 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 4 ) − ( 0 ) y − ( 0 ) 4 y 2 ( y ) 0 4 x − 2 y 2 x − y = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( 2 ) − ( 0 ) x − ( 0 ) 2 x 4 ( x ) 4 x − 2 y 0 0 Didapat persamaan garis singgung 2 x − y = 0 . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 11 x + 2 y = 0 atau 2 x − y = 0 .

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingakaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

$1)$ Mencari persamaan garis polar. $x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C = 0$ .

$2)$ Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgung, misal $(x_{2}, y_{2}) dan (x_{3}, y_{3})$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ dan titik singgung $(x_{2}, y_{2}) atau (x_{3}, y_{3})$ menggunakan rumus.

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 = 0$ dan titik $(0, 0)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 (0)^{2} + (0)^{2} - 6 (0) - 8 (0) + 20 = = = 0 0 + 0 + 0 + 0 + 20 20$

Karena $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C > 0$ maka titik berada di luar lingkaran. Jadi

$1)$ Mencari persamaan garis polar.

$x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C (0) x + (0) y + \frac{( - 6 )}{2} ((0) + x) + \frac{( - 8 )}{2} ((0) + y) + 20 0 + 0 - 3 x - 4 y + 20 - 3 x - 4 y + 20 = = = = 0000$

$2)$ Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

$- 3 x - 4 y + 20 - 3 x x = = = 0 4 y - 20 \frac{4 y - 20}{- 3}$

Substitusikan ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 (\frac{4 y - 20}{- 3})^{2} + y^{2} - 6 (\frac{4 y - 20}{- 3}) - 8 y + 20 \frac{16 y ^{2} - 160 y + 400}{9} + y^{2} + 8 y - 40 - 8 y + 20 \frac{16 y ^{2} - 160 y + 400}{9} + y^{2} - 20 16 y^{2} - 160 y + 400 + 9 y^{2} - 180 25 y^{2} - 160 y + 220 5 y^{2} - 32 y + 44 (5 y - 22) (y - 2) = = = = = = = = 00000000$

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

$5 y - 22 5 y y = = = 022 \frac{22}{5}$

atau

$y - 2 y = = 02$

Untuk $y = \frac{22}{5}$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = = = \frac{4 y - 20}{- 3} \frac{4 ( \frac{22}{5} ) - 20}{- 3} \frac{\frac{88}{5} - \frac{100}{5}}{- 3} \frac{\frac{12}{5}}{- 3} \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{- 3} - \frac{4}{5}$

Didapat titik singgung yang pertama adalah $(- \frac{4}{5}, \frac{22}{5})$ .

Untuk $y = 2$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = = \frac{4 y - 20}{- 3} \frac{4 ( 2 ) - 20}{- 3} \frac{8 - 20}{- 3} \frac{- 12}{- 3} 4$

Didapat titik singgung yang kedua adalah $(4, 2)$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik $(0, 0)$ dan titik singgung $(- \frac{4}{5}, \frac{22}{5})$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 0 )}{( \frac{22}{5} ) - ( 0 )} \frac{y}{\frac{22}{5}} - \frac{4}{5} (y) - 4 y 0 22 x + 4 y 11 x + 2 y = = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 0 )}{( - \frac{4}{5} ) - ( 0 )} \frac{x}{- \frac{4}{5}} \frac{22}{5} (x) 22 x 22 x + 4 y 00$

Didapat persamaan garis singgung $11 x + 2 y = 0$ .

Untuk titik $(0, 0)$ dan titik singgung $(4, 2)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 0 )}{( 4 ) - ( 0 )} \frac{y}{4} 2 (y) 0 4 x - 2 y 2 x - y = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 0 )}{( 2 ) - ( 0 )} \frac{x}{2} 4 (x) 4 x - 2 y 00$