Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 + 10 x − 8 y + 36 = 0 melalui titik ( − 1 , 1 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran.

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 36 = 0$ melalui titik $(- 1, 1)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah 2 x − 11 y + 13 = 0 atau 2 x − y + 3 = 0 .

didapat persamaan garis singgungnya adalah

2 x - 11 y + 13 = 0

atau

2 x - y + 3 = 0

Pembahasan

Ingat beberapa rumus berikut: Pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat dicari 2 hal yakni: 1 ) Titik pusat lingkaran : ( a , b ) = ( − 2 A , − 2 B ) . 2 ) Jari - jari lingkaran : r = a 2 + b 2 − C . Persamaan garis singgung lingkaran yang di ketahui titik pusat lingkaran ( a , b ) , jari - jari ( r ) dan gradien ( m ) . y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 Persamaan garis yang diketahui gradien ( m ) dan sembarang titik ( x 1 , y 1 ) . y − y 1 = m ( x − x 1 ) dan ingat rumus persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 maka nilai m didapat dengan rumus: x 1 , 2 = 2 a ( − b ) ± b 2 − 4 a c Sehingga, pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 10 x − 8 y + 36 = 0 didapat: 1 ) Titik pusat lingkaran : ( a , b ) = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( 10 ) , − 2 ( − 8 ) ) ( − 5 , 4 ) 2 ) Jari - jari lingkaran : r = = = = a 2 + b 2 − C ( − 5 ) 2 + ( 4 ) 2 − 36 25 + 16 − 36 5 Kemudian, substitusi titik pusat dan jari -jari ke persamaan garis singgung. karena garis singgung melalui ( − 1 , 1 ) . maka kita misalkan ( x , y ) = ( − 1 , 1 ) . y − b ( 1 ) − 4 − 3 4 m − 3 ( 4 m − 3 ) 2 16 m 2 − 24 m + 9 16 m 2 − 24 m + 9 16 m 2 − 24 m + 9 − 5 m 2 − 5 11 m 2 − 24 m + 4 ( 11 m − 2 ) ( m − 2 ) = = = = = = = = = = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 m ( ( − 1 ) − ( − 5 ) ) ± ( 5 ) m 2 + 1 m ( 4 ) ± 5 ( m 2 + 1 ) ± 5 ( m 2 + 1 ) ( ± 5 ( m 2 + 1 ) ) 2 5 ( m 2 + 1 ) 5 m 2 + 5 0 0 0 Sehingga, gradiennya didapat 11 m − 2 11 m m = = = 0 2 11 2 atau m − 2 m = = 0 2 Jadi didapat persamaan garis singgung: Untuk m = 11 2 dan titik ( − 1 , 1 ) . y − y 1 y − ( 1 ) y − 1 11 y − 11 11 y − 11 0 2 x − 11 y + 13 = = = = = = = m ( x − x 1 ) 11 2 ( x − ( − 1 )) 11 2 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 x + 2 2 x + 2 − 11 y + 11 0 Untuk m = 2 dan titik ( − 1 , 1 ) . y − y 1 y − ( 1 ) y − 1 0 2 x − y + 3 = = = = = m ( x − x 1 ) 2 ( x − ( − 1 )) 2 x + 2 2 x + 2 − y + 1 0 Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 2 x − 11 y + 13 = 0 atau 2 x − y + 3 = 0 .

Ingat beberapa rumus berikut:

Pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat dicari 2 hal yakni:

$1)$ Titik pusat lingkaran : $(a, b) = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ .

$2)$ Jari - jari lingkaran : $r = a^{2} + b^{2} - C$ .

Persamaan garis singgung lingkaran yang di ketahui titik pusat lingkaran $(a, b)$ , jari - jari $(r)$ dan gradien $(m)$ .

$y - b = m (x - a) \pm r m^{2} + 1$

Persamaan garis yang diketahui gradien $(m)$ dan sembarang titik $(x_{1}, y_{1})$ .

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

dan ingat rumus persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ maka nilai $m$ didapat dengan rumus:

$x_{1, 2} = \frac{( - b ) \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Sehingga, pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 36 = 0$ didapat:

$1)$ Titik pusat lingkaran :

$(a, b) = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( 10 )}{2}, - \frac{( - 8 )}{2}) (- 5, 4)$

$2)$ Jari - jari lingkaran :

$r = = = = a^{2} + b^{2} - C (- 5)^{2} + (4)^{2} - 36 25 + 16 - 36 5$

Kemudian, substitusi titik pusat dan jari -jari ke persamaan garis singgung. karena garis singgung melalui $(- 1, 1)$ . maka kita misalkan $(x, y) = (- 1, 1)$ .

$y - b (1) - 4 - 3 4 m - 3 (4 m - 3)^{2} 16 m^{2} - 24 m + 9 16 m^{2} - 24 m + 9 16 m^{2} - 24 m + 9 - 5 m^{2} - 5 11 m^{2} - 24 m + 4 (11 m - 2) (m - 2) = = = = = = = = = = m (x - a) \pm r m^{2} + 1 m ((- 1) - (- 5)) \pm (5) m^{2} + 1 m (4) \pm 5 (m^{2} + 1) \pm 5 (m^{2} + 1) (\pm 5 (m^{2} + 1))^{2} 5 (m^{2} + 1) 5 m^{2} + 5 000$

Sehingga, gradiennya didapat

$11 m - 2 11 m m = = = 02 \frac{2}{11}$

atau

$m - 2 m = = 02$

Jadi didapat persamaan garis singgung:

Untuk $m = \frac{2}{11}$ dan titik $(- 1, 1)$ .

$y - y_{1} y - (1) y - 1 11 y - 11 11 y - 11 0 2 x - 11 y + 13 = = = = = = = m (x - x_{1}) \frac{2}{11} (x - (- 1)) \frac{2}{11} (x + 1) 2 (x + 1) 2 x + 2 2 x + 2 - 11 y + 11 0$