Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 = 8 melalui ( − 2 , 6 ) .

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y = r 2 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal ( x 2 ​ , y 2 ​ ) dan ( x 3 ​ , y 3 ​ ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan titik polar ( x 2 ​ , y 2 ​ ) atau ( x 3 ​ , y 3 ​ ) menggunakan rumus. y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ = x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 8 dan titik ( − 2 , 6 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 ( − 2 ) 2 + ( 6 ) 2 ​ = = = ​ 8 4 + 36 40 ​ Karena x 2 + y 2 > r 2 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y ( − 2 ) x + ( 6 ) y − 2 x + 6 y ​ = = = ​ r 2 8 8 ​ 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − 2 x x ​ = = ​ 8 − 6 y 3 y − 4 ​ Substitusi persamaan garis polarke persamaan lingkaran x 2 + y 2 ( 3 y − 4 ) 2 + y 2 9 y 2 − 24 y + 16 + y 2 − 8 10 y 2 − 24 y + 8 5 y 2 − 12 y + 4 ( 5 y − 2 ) ( y − 2 ) ​ = = = = = = ​ 8 8 0 0 0 0 ​ Sehingga didapat pembuat nol nya adalah 5 y − 2 5 y y ​ = = = ​ 0 2 5 2 ​ ​ atau y − 2 y ​ = = ​ 0 2 ​ Untuk y = 5 2 ​ maka nilai x adalah x ​ = = = = ​ 3 y − 4 3 ( 5 2 ​ ) − 4 5 6 ​ − 5 20 ​ − 5 14 ​ ​ Didapat titik polar yang pertama adalah ( − 5 14 ​ , 5 2 ​ ) . Untuk y = 2 maka nilai x adalah x ​ = = = = ​ 3 y − 4 3 ( 2 ) − 4 6 − 4 2 ​ Didapat titik polar yang kedua adalah ( 2 , 2 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( − 2 , 6 ) dan titik polar ( − 5 14 ​ , 5 2 ​ ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 5 2 ​ ) − ( 6 ) y − ( 6 ) ​ 5 2 ​ − 6 y − 6 ​ 5 2 ​ − 5 30 ​ y − 6 ​ − 5 28 ​ y − 6 ​ − 5 4 ​ ( y − 6 ) − 4 ( y + 3 ) − 4 y − 12 28 x − 4 y − 12 − 96 28 x − 4 y − 108 7 x − y − 27 ​ = = = = = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( − 5 14 ​ ) − ( − 2 ) x − ( − 2 ) ​ − 5 14 ​ + 2 x + 2 ​ − 5 14 ​ + 5 10 ​ x + 2 ​ − 5 4 ​ x + 2 ​ − 5 28 ​ ( x + 2 ) − 28 ( x − 4 ) − 28 x + 96 0 0 0 ​ Didapat persamaan garis singgung 7 x − y − 27 = 0 . Untuk titik ( − 2 , 6 ) dan titik polar ( 2 , 2 ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 2 ) − ( 6 ) y − ( 6 ) ​ − 4 y − 6 ​ 4 ( y − 6 ) 4 y − 24 4 x + 4 y − 24 + 8 4 x + 4 y − 16 x + y − 4 ​ = = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( 2 ) − ( − 2 ) x − ( − 2 ) ​ 4 x + 2 ​ − 4 ( x + 2 ) − 4 x − 8 0 0 0 ​ Didapat persamaan garis singgung x + y − 4 = 0 . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 7 x − y − 27 = 0 atau x + y − 4 = 0 .