Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 = 5 melalui ( 4 , − 3 ) .

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y = r 2 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal ( x 2 ​ , y 2 ​ ) dan ( x 3 ​ , y 3 ​ ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan titik polar ( x 2 ​ , y 2 ​ ) atau ( x 3 ​ , y 3 ​ ) menggunakan rumus. y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ = x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 5 dan titik ( 4 , − 3 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 ( 4 ) 2 + ( − 3 ) 2 ​ = = = ​ 5 16 + 9 25 ​ Karena x 2 + y 2 > r 2 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 ​ x + y 1 ​ y ( 4 ) x + ( − 3 ) y 4 x − 3 y ​ = = = ​ r 2 5 5 ​ 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. 4 x − 3 y x ​ = = ​ 5 4 5 + 3 y ​ ​ Substitusi persamaan garis polarke persamaan lingkaran x 2 + y 2 ( 4 5 + 3 y ​ ) 2 + y 2 16 25 + 30 y + 9 y 2 ​ + y 2 25 + 30 y + 9 y 2 + 16 y 2 25 y 2 + 30 y + 25 − 80 2 5 2 + 30 y − 55 5 y 2 + 6 y − 11 ( 5 y + 11 ) ( y − 1 ) ​ = = = = = = = = ​ 5 5 5 80 0 0 0 0 ​ Sehingga didapat pembuat nol nya adalah 5 y − 11 5 y y ​ = = = ​ 0 11 5 11 ​ ​ atau y − 1 y ​ = = ​ 0 1 ​ Untuk y = 5 11 ​ maka nilai x adalah x ​ = = = = = = ​ 4 5 + 3 y ​ 4 5 + 3 ( 5 11 ​ ) ​ 4 5 25 ​ + 5 33 ​ ​ 4 5 58 ​ ​ 5 58 ​ ⋅ 4 1 ​ 10 29 ​ ​ Didapat titik polar yang pertama adalah ( 10 29 ​ , 5 11 ​ ) . Untuk y = 1 maka nilai x adalah x ​ = = = = = ​ 4 5 + 3 y ​ 4 5 + 3 ( 1 ) ​ 4 5 + 3 ​ 4 8 ​ 2 ​ Didapat titik polar yang kedua adalah ( 2 , 1 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( 4 − 3 ) dan titik polar ( 10 29 ​ , 5 11 ​ ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 5 11 ​ ) − ( − 3 ) y − ( − 3 ) ​ 5 11 ​ + 3 y + 3 ​ 5 11 ​ + 5 15 ​ y + 3 ​ 5 26 ​ y + 3 ​ − 10 11 ​ ( y + 3 ) − 11 ( y + 3 ) − 11 y − 33 0 52 x + 11 y − 175 ​ = = = = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( 10 29 ​ ) − ( 4 ) x − ( 4 ) ​ 10 29 ​ − 4 x − 4 ​ 10 29 ​ − 10 40 ​ x − 4 ​ − 10 11 ​ x − 4 ​ 5 26 ​ ( x − 4 ) 52 ( x − 4 ) 52 x − 208 52 x + 11 y − 208 + 33 0 ​ Didapat persamaan garis singgung 52 x + 11 y − 175 = 0 . Untuk titik ( 4 , − 3 ) dan titik polar ( 2 , 1 ) y 2 ​ − y 1 ​ y − y 1 ​ ​ ( 1 ) − ( − 3 ) y − ( − 3 ) ​ 4 y + 3 ​ − 2 ( y + 3 ) − 2 y − 6 0 4 x + 2 y − 10 2 x + y − 5 ​ = = = = = = = = ​ x 2 ​ − x 1 ​ x − x 1 ​ ​ ( 2 ) − ( 4 ) x − ( 4 ) ​ − 2 x − 4 ​ 4 ( x − 4 ) 4 x − 16 4 x + 2 y − 16 + 6 0 0 ​ Didapat persamaan garis singgung 2 x + y − 5 = 0 . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 52 x + 11 y − 175 = 0 atau 2 x + y − 5 = 0 .