Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut.

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 19 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahui dua lingkaran berikut L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0 Perhatikan, pada lingkaran pertama P 1 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 1 = = = = = = P 1 ( − 2 1 ( − 2 ) , − 2 1 ( − 6 ) ) P 1 ( 1 , 3 ) a 2 + b 2 − C 1 2 + 3 2 − 9 1 1 dan, lingkaran kedua P 2 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 2 = = = = = P 2 ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( − 10 ) ) P 2 ( 2 , 5 ) a 2 + b 2 − C 2 2 + 5 2 − 19 10 Jarak antar pusat lingkaran adalah L 1 L 2 ⇒ = = ∣ P 1 P 2 ∣ = ( 5 − 3 ) 2 + ( 2 − 1 ) 2 4 + 1 5 Karena r 2 + r 1 = 10 + 1 dan ∣ r 2 − r 1 ∣ = 10 − 1 mengakibatkan ∣ r 2 − r 1 ∣ < ∣ P 1 P 2 ∣ < r 2 + r 1 yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah m x + y + c = 0 , maka jarak antara titikpusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah r 1 1 ± 1 ± m 2 + 1 c r 2 10 ± 10 ± 10 m 2 + 1 c = = = = = = = = = = ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c m + 3 + c − m − 3 ± m 2 + 1 ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c 2 m + 5 + c − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 Selanjutnyadidapatkan − m − 3 ± m 2 + 1 pers 1 ) 2 + m pers 2 ) 2 + m = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ± ( 10 − 1 ) m 2 + 1 Berdasarkan persamaan 1 didapatkan 2 + m ( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 = = = = = = = = ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ( 10 + 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 + 2 10 ) ( m 2 + 1 ) ( 17 , 3 ) ( m 2 + 1 ) 17 , 3 m 2 + 17 , 3 16 , 3 m 2 − 4 m + 13 , 3 32 , 6 4 ± 16 − 867 , 16 32 , 6 4 ± − 851 , 16 Persamaan 1 tidak memenuhi karena akar memuat unsur negatif. Berdasarkan persamaan 2didapatkan ( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 m 1 m 2 = = = = = = = = = = ( 10 − 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 − 2 10 ) ( m 2 + 1 ) 4 , 68 ( m 2 + 1 ) 4 , 68 m 2 + 4 , 68 3 , 68 m 2 − 4 m + 0 , 68 7 , 36 4 ± 16 − ( 4 ) ( 3 , 68 ) ( 0 , 68 ) 7 , 63 4 ± 16 − 10 , 01 7 , 63 4 ± 2 , 45 0 , 85 0 , 203 Selanjutnya tentukan nilai c, c c 1 , 2 c 3 , 4 = = = = = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 − 1 , 7 − 5 ± 10 1 , 72 − 6 , 7 ± 4 , 15 − 2 , 55 ∨ − 10 , 85 − 0 , 406 − 5 ± 10 1 , 04 − 5 , 406 ± 3 , 23 − 2 , 18 ∨ − 8 , 636 Ujinilai c yang memenuhi rumus jarak hanyalah c = − 2 , 55 dan c = − 2 , 18 Persamaan garis singgung persekutuannya yaitu 0 , 85 x + y − 2 , 55 y 0 , 2 x + y − 1 , 25 y = = = = 0 2 , 55 − 0 , 85 x 0 2 , 18 − 0 , 2 x Dengan demikian,persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah y y = = 2 , 55 − 0 , 85 x dan 2 , 18 − 0 , 2 x

Diketahui dua lingkaran berikut

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 19 = 0$

Perhatikan, pada lingkaran pertama

$P_{1} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) r_{1} = = = = = = P_{1} (- \frac{1}{2} (- 2), - \frac{1}{2} (- 6)) P_{1} (1, 3) a^{2} + b^{2} - C 1^{2} + 3^{2} - 9 11$

dan, lingkaran kedua

$P_{2} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) r_{2} = = = = = P_{2} (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (- 10)) P_{2} (2, 5) a^{2} + b^{2} - C 2^{2} + 5^{2} - 19 10$

Jarak antar pusat lingkaran adalah

$L_{1} L_{2} \Rightarrow = = ∣ P_{1} P_{2} ∣ = (5 - 3)^{2} + (2 - 1)^{2} 4 + 1 5$

Karena $r_{2} + r_{1} = 10 + 1$ dan $∣ r_{2} - r_{1} ∣ = 10 - 1$ mengakibatkan

$∣ r_{2} - r_{1} ∣ < ∣ P_{1} P_{2} ∣ < r_{2} + r_{1}$

yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah $m x + y + c = 0$ , maka jarak antara titik pusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah

$r_{1} 1 \pm 1 \pm m^{2} + 1 c r_{2} 10 \pm 10 \pm 10 m^{2} + 1 c = = = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} m + 3 + c - m - 3 \pm m^{2} + 1 ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} 2 m + 5 + c - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1$

Selanjutnya didapatkan

$- m - 3 \pm m^{2} + 1 pers 1) 2 + m pers 2) 2 + m = = = - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1 \pm (10 + 1) m^{2} + 1 \pm (10 - 1) m^{2} + 1$

Berdasarkan persamaan 1 didapatkan

$2 + m (2 + m)^{2} m^{2} + 4 m + 4 m^{2} + 4 m + 4 0 m_{1, 2} = = = = = = = = \pm (10 + 1) m^{2} + 1 (10 + 1)^{2} (m^{2} + 1) (11 + 210) (m^{2} + 1) (17, 3) (m^{2} + 1) 17, 3 m^{2} + 17, 3 16, 3 m^{2} - 4 m + 13, 3 \frac{4 \pm 16 - 867 , 16}{32 , 6} \frac{4 \pm - 851 , 16}{32 , 6}$

Persamaan 1 tidak memenuhi karena akar memuat unsur negatif.

Berdasarkan persamaan 2 didapatkan

$(2 + m)^{2} m^{2} + 4 m + 4 0 m_{1, 2} m_{1} m_{2} = = = = = = = = = = (10 - 1)^{2} (m^{2} + 1) (11 - 210) (m^{2} + 1) 4, 68 (m^{2} + 1) 4, 68 m^{2} + 4, 68 3, 68 m^{2} - 4 m + 0, 68 \frac{4 \pm 16 - ( 4 ) ( 3 , 68 ) ( 0 , 68 )}{7 , 36} \frac{4 \pm 16 - 10 , 01}{7 , 63} \frac{4 \pm 2 , 45}{7 , 63} 0, 85 0, 203$

Selanjutnya tentukan nilai c,

$c c_{1, 2} c_{3, 4} = = = = = = = - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1 - 1, 7 - 5 \pm 10 1, 72 - 6, 7 \pm 4, 15 - 2, 55 \lor - 10, 85 - 0, 406 - 5 \pm 10 1, 04 - 5, 406 \pm 3, 23 - 2, 18 \lor - 8, 636$

Uji nilai c yang memenuhi rumus jarak hanyalah $c = - 2, 55$ dan $c = - 2, 18$

Persamaan garis singgung persekutuannya yaitu

$0, 85 x + y - 2, 55 y 0, 2 x + y - 1, 25 y = = = = 0 2, 55 - 0, 85 x 0 2, 18 - 0, 2 x$

Dengan demikian, persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah

$y y = = 2, 55 - 0, 85 x dan 2, 18 - 0, 2 x$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Amira Faradiba

Mudah dimengerti

Pertanyaan serupa

Tentukan koordinat titik di mana kedua lingkaran di bawah ini bersinggungan. L 1 L 2 ≡ ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 4 x 2 + y 2 − 12 x − 8 y = 12 kemudian tentukan persamaan garis singgun...

4.8

Jawaban terverifikasi

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y − 11 = 0 dan x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 22 = 0 serta melalui titik ( 0 , 0 ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A ( 1 , 0 ) dan memiliki jari-jari 5 cm serta pusat lingkaran B ( 7 , 0 ) dan memiliki panjang jari-jari 4 cm . Tentukan: a. Titik potong kedua lingkar...

4.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 = 0 dan x 2 + y 2 − 16 x − 14 y + 64 = 0 serta pusatnya pada garis 8 x − 3 y − 29 = 0 adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi