Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut.

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 19 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahui dua lingkaran berikut L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0 Perhatikan, pada lingkaran pertama P 1 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 1 = = = = = = P 1 ( − 2 1 ( − 2 ) , − 2 1 ( − 6 ) ) P 1 ( 1 , 3 ) a 2 + b 2 − C 1 2 + 3 2 − 9 1 1 dan, lingkaran kedua P 2 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 2 = = = = = P 2 ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( − 10 ) ) P 2 ( 2 , 5 ) a 2 + b 2 − C 2 2 + 5 2 − 19 10 Jarak antar pusat lingkaran adalah L 1 L 2 ⇒ = = ∣ P 1 P 2 ∣ = ( 5 − 3 ) 2 + ( 2 − 1 ) 2 4 + 1 5 Karena r 2 + r 1 = 10 + 1 dan ∣ r 2 − r 1 ∣ = 10 − 1 mengakibatkan ∣ r 2 − r 1 ∣ < ∣ P 1 P 2 ∣ < r 2 + r 1 yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah m x + y + c = 0 , maka jarak antara titikpusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah r 1 1 ± 1 ± m 2 + 1 c r 2 10 ± 10 ± 10 m 2 + 1 c = = = = = = = = = = ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c m + 3 + c − m − 3 ± m 2 + 1 ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c 2 m + 5 + c − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 Selanjutnyadidapatkan − m − 3 ± m 2 + 1 pers 1 ) 2 + m pers 2 ) 2 + m = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ± ( 10 − 1 ) m 2 + 1 Berdasarkan persamaan 1 didapatkan 2 + m ( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 = = = = = = = = ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ( 10 + 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 + 2 10 ) ( m 2 + 1 ) ( 17 , 3 ) ( m 2 + 1 ) 17 , 3 m 2 + 17 , 3 16 , 3 m 2 − 4 m + 13 , 3 32 , 6 4 ± 16 − 867 , 16 32 , 6 4 ± − 851 , 16 Persamaan 1 tidak memenuhi karena akar memuat unsur negatif. Berdasarkan persamaan 2didapatkan ( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 m 1 m 2 = = = = = = = = = = ( 10 − 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 − 2 10 ) ( m 2 + 1 ) 4 , 68 ( m 2 + 1 ) 4 , 68 m 2 + 4 , 68 3 , 68 m 2 − 4 m + 0 , 68 7 , 36 4 ± 16 − ( 4 ) ( 3 , 68 ) ( 0 , 68 ) 7 , 63 4 ± 16 − 10 , 01 7 , 63 4 ± 2 , 45 0 , 85 0 , 203 Selanjutnya tentukan nilai c, c c 1 , 2 c 3 , 4 = = = = = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 − 1 , 7 − 5 ± 10 1 , 72 − 6 , 7 ± 4 , 15 − 2 , 55 ∨ − 10 , 85 − 0 , 406 − 5 ± 10 1 , 04 − 5 , 406 ± 3 , 23 − 2 , 18 ∨ − 8 , 636 Ujinilai c yang memenuhi rumus jarak hanyalah c = − 2 , 55 dan c = − 2 , 18 Persamaan garis singgung persekutuannya yaitu 0 , 85 x + y − 2 , 55 y 0 , 2 x + y − 1 , 25 y = = = = 0 2 , 55 − 0 , 85 x 0 2 , 18 − 0 , 2 x Dengan demikian,persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah y y = = 2 , 55 − 0 , 85 x dan 2 , 18 − 0 , 2 x

Diketahui dua lingkaran berikut

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 19 = 0$

Perhatikan, pada lingkaran pertama

$P_{1} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) r_{1} = = = = = = P_{1} (- \frac{1}{2} (- 2), - \frac{1}{2} (- 6)) P_{1} (1, 3) a^{2} + b^{2} - C 1^{2} + 3^{2} - 9 11$

dan, lingkaran kedua

$P_{2} (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) r_{2} = = = = = P_{2} (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (- 10)) P_{2} (2, 5) a^{2} + b^{2} - C 2^{2} + 5^{2} - 19 10$

Jarak antar pusat lingkaran adalah

$L_{1} L_{2} \Rightarrow = = ∣ P_{1} P_{2} ∣ = (5 - 3)^{2} + (2 - 1)^{2} 4 + 1 5$

Karena $r_{2} + r_{1} = 10 + 1$ dan $∣ r_{2} - r_{1} ∣ = 10 - 1$ mengakibatkan

$∣ r_{2} - r_{1} ∣ < ∣ P_{1} P_{2} ∣ < r_{2} + r_{1}$

yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah $m x + y + c = 0$ , maka jarak antara titik pusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah

$r_{1} 1 \pm 1 \pm m^{2} + 1 c r_{2} 10 \pm 10 \pm 10 m^{2} + 1 c = = = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ \frac{m + 3 + c}{m ^{2} + 1} m + 3 + c - m - 3 \pm m^{2} + 1 ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} ∣ ∣ \frac{2 m + 5 + c}{m ^{2} + 1} 2 m + 5 + c - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1$

Selanjutnya didapatkan

$- m - 3 \pm m^{2} + 1 pers 1) 2 + m pers 2) 2 + m = = = - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1 \pm (10 + 1) m^{2} + 1 \pm (10 - 1) m^{2} + 1$

Berdasarkan persamaan 1 didapatkan

$2 + m (2 + m)^{2} m^{2} + 4 m + 4 m^{2} + 4 m + 4 0 m_{1, 2} = = = = = = = = \pm (10 + 1) m^{2} + 1 (10 + 1)^{2} (m^{2} + 1) (11 + 210) (m^{2} + 1) (17, 3) (m^{2} + 1) 17, 3 m^{2} + 17, 3 16, 3 m^{2} - 4 m + 13, 3 \frac{4 \pm 16 - 867 , 16}{32 , 6} \frac{4 \pm - 851 , 16}{32 , 6}$

Persamaan 1 tidak memenuhi karena akar memuat unsur negatif.

Berdasarkan persamaan 2 didapatkan

$(2 + m)^{2} m^{2} + 4 m + 4 0 m_{1, 2} m_{1} m_{2} = = = = = = = = = = (10 - 1)^{2} (m^{2} + 1) (11 - 210) (m^{2} + 1) 4, 68 (m^{2} + 1) 4, 68 m^{2} + 4, 68 3, 68 m^{2} - 4 m + 0, 68 \frac{4 \pm 16 - ( 4 ) ( 3 , 68 ) ( 0 , 68 )}{7 , 36} \frac{4 \pm 16 - 10 , 01}{7 , 63} \frac{4 \pm 2 , 45}{7 , 63} 0, 85 0, 203$

Selanjutnya tentukan nilai c,

$c c_{1, 2} c_{3, 4} = = = = = = = - 2 m - 5 \pm 10 m^{2} + 1 - 1, 7 - 5 \pm 10 1, 72 - 6, 7 \pm 4, 15 - 2, 55 \lor - 10, 85 - 0, 406 - 5 \pm 10 1, 04 - 5, 406 \pm 3, 23 - 2, 18 \lor - 8, 636$

Uji nilai c yang memenuhi rumus jarak hanyalah $c = - 2, 55$ dan $c = - 2, 18$

Persamaan garis singgung persekutuannya yaitu

$0, 85 x + y - 2, 55 y 0, 2 x + y - 1, 25 y = = = = 0 2, 55 - 0, 85 x 0 2, 18 - 0, 2 x$

Dengan demikian, persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah

$y y = = 2, 55 - 0, 85 x dan 2, 18 - 0, 2 x$

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Amira Faradiba

Mudah dimengerti

Pertanyaan serupa

Tentukan koordinat titik di mana kedua lingkaran di bawah ini bersinggungan. L 1 L 2 ≡ ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 4 x 2 + y 2 − 12 x − 8 y = 12 kemudian tentukan persamaan garis singgun...

4.8

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 = 0 dan x 2 + y 2 − 16 x − 14 y + 64 = 0 serta pusatnya pada garis 8 x − 3 y − 29 = 0 adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A ( 1 , 0 ) dan memiliki jari-jari 5 cm serta pusat lingkaran B ( 7 , 0 ) dan memiliki panjang jari-jari 4 cm . Tentukan: a. Titik potong kedua lingkar...

4.0

Jawaban terverifikasi

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y − 11 = 0 dan x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 22 = 0 serta melalui titik ( 0 , 0 ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS