Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut.
L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0
Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut.
L1≡x2+y2−2x−6y+9=0L2≡x2+y2−4x−10y+19=0
Iklan
EL
E. Lestari
Master Teacher
Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret
Jawaban terverifikasi
Iklan
Pembahasan
Diketahui dua lingkaran berikut
L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0
Perhatikan, pada lingkaran pertama
P 1 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 1 = = = = = = P 1 ( − 2 1 ( − 2 ) , − 2 1 ( − 6 ) ) P 1 ( 1 , 3 ) a 2 + b 2 − C 1 2 + 3 2 − 9 1 1
dan, lingkaran kedua
P 2 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) r 2 = = = = = P 2 ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( − 10 ) ) P 2 ( 2 , 5 ) a 2 + b 2 − C 2 2 + 5 2 − 19 10
Jarak antar pusat lingkaran adalah
L 1 L 2 ⇒ = = ∣ P 1 P 2 ∣ = ( 5 − 3 ) 2 + ( 2 − 1 ) 2 4 + 1 5
Karena r 2 + r 1 = 10 + 1 dan ∣ r 2 − r 1 ∣ = 10 − 1 mengakibatkan
∣ r 2 − r 1 ∣ < ∣ P 1 P 2 ∣ < r 2 + r 1
yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah m x + y + c = 0 , maka jarak antara titikpusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah
r 1 1 ± 1 ± m 2 + 1 c r 2 10 ± 10 ± 10 m 2 + 1 c = = = = = = = = = = ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c ∣ ∣ m 2 + 1 m + 3 + c m + 3 + c − m − 3 ± m 2 + 1 ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c ∣ ∣ m 2 + 1 2 m + 5 + c 2 m + 5 + c − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1
Selanjutnyadidapatkan
− m − 3 ± m 2 + 1 pers 1 ) 2 + m pers 2 ) 2 + m = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ± ( 10 − 1 ) m 2 + 1
Berdasarkan persamaan 1 didapatkan
2 + m ( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 = = = = = = = = ± ( 10 + 1 ) m 2 + 1 ( 10 + 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 + 2 10 ) ( m 2 + 1 ) ( 17 , 3 ) ( m 2 + 1 ) 17 , 3 m 2 + 17 , 3 16 , 3 m 2 − 4 m + 13 , 3 32 , 6 4 ± 16 − 867 , 16 32 , 6 4 ± − 851 , 16
Persamaan 1 tidak memenuhi karena akar memuat unsur negatif.
Berdasarkan persamaan 2didapatkan
( 2 + m ) 2 m 2 + 4 m + 4 0 m 1 , 2 m 1 m 2 = = = = = = = = = = ( 10 − 1 ) 2 ( m 2 + 1 ) ( 11 − 2 10 ) ( m 2 + 1 ) 4 , 68 ( m 2 + 1 ) 4 , 68 m 2 + 4 , 68 3 , 68 m 2 − 4 m + 0 , 68 7 , 36 4 ± 16 − ( 4 ) ( 3 , 68 ) ( 0 , 68 ) 7 , 63 4 ± 16 − 10 , 01 7 , 63 4 ± 2 , 45 0 , 85 0 , 203
Selanjutnya tentukan nilai c,
c c 1 , 2 c 3 , 4 = = = = = = = − 2 m − 5 ± 10 m 2 + 1 − 1 , 7 − 5 ± 10 1 , 72 − 6 , 7 ± 4 , 15 − 2 , 55 ∨ − 10 , 85 − 0 , 406 − 5 ± 10 1 , 04 − 5 , 406 ± 3 , 23 − 2 , 18 ∨ − 8 , 636
Ujinilai c yang memenuhi rumus jarak hanyalah c = − 2 , 55 dan c = − 2 , 18
Persamaan garis singgung persekutuannya yaitu
0 , 85 x + y − 2 , 55 y 0 , 2 x + y − 1 , 25 y = = = = 0 2 , 55 − 0 , 85 x 0 2 , 18 − 0 , 2 x
Dengan demikian,persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah
y y = = 2 , 55 − 0 , 85 x dan 2 , 18 − 0 , 2 x
Karena r2+r1=10+1 dan ∣r2−r1∣=10−1 mengakibatkan
∣r2−r1∣<∣P1P2∣<r2+r1
yang berarti bahwa lingkaran saling berpotongan dan memiliki dua garis singgung persekutuan luar. Misal persamaan garis singgungnya adalah mx+y+c=0, maka jarak antara titik pusat lingkaran satu terhadap garis singgung adalah