Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 = 0 dan x 2 + y 2 − 16 x − 14 y + 64 = 0 serta pusatnya pada garis 8 x − 3 y − 29 = 0 adalah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah A. Ingatlah bahwa garis potong dua lingkaran L 1 ​ dan L 2 ​ dapat dinyatakan sebagai: L 1 ​ -L 2 ​ =0 Diketahui bahwa persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 = 0 dan x 2 + y 2 − 16 x − 14 y + 64 = 0 sehingga diperoleh L 1 ​ -L 2 ​ x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 − ( x 2 + y 2 − 16 x − 14 y + 64 ) x 2 − x 2 + y 2 − y 2 − 12 x + 16 x + 6 y + 14 y + 20 − 64 4 x + 20 y − 44 x + 5 y − 11 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ Kemudian, ingatlah bahwa persamaan berkas lingkaran adalah L 1 ​ +λh=0 . Misalkan h : x + 5 y − 11 = 0 sehingga di peroleh L 1 ​ +λh ( x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 ) + λ ( x + 5 y − 11 ) x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 20 ) + λ x + λ 5 y − λ 11 ) x 2 + y 2 + ( − 12 + λ ) x + ( 6 + 5 λ ) y + 20 − 11 λ ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Ingat kembali bentuk umum persamaan lingkaran dinyatakan sebagai: L = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 } dengan titik pusat ( − A , − B ) Diketahui bahwa persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C x 2 + y 2 + ( − 12 + λ ) x + ( 6 + 5 λ ) y + 20 − 11 λ ​ = = ​ 0 0 ​ diperoleh 2 A A ​ = = ​ − 12 + λ 2 − 12 + λ ​ , ​ 2 B B ​ = = ​ 6 + 5 λ 2 6 + 5 λ ​ , ​ Titik pusat: ( − A , − B ) = ( 2 12 − λ ​ , 2 − 6 − 5 λ ​ ) Persamaan lingkaran tersebut berpusat pada garis 8 x − 3 y − 29 = 0 sehingga 8 x − 3 y − 29 8 ( 2 12 − λ ​ ) − 3 ( 2 − 6 − 5 λ ​ ) − 29 48 − 4 λ + 9 + 2 15 λ ​ − 29 2 7 ​ λ + 28 2 7 ​ λ λ λ ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 − 28 − 28 × 7 2 ​ − 8 ​ Dengan demikian, substitusikan λ = − 8 ke persamaan lingkaran tersebut sehingga diperoleh x 2 + y 2 + ( − 12 + λ ) x + ( 6 + 5 λ ) y + 20 − 11 λ x 2 + y 2 + ( − 12 + ( − 8 )) x + ( 6 + 5 ( − 8 )) y + 20 − 11 ( − 8 ) x 2 + y 2 − 20 x − 34 y + 108 ​ = = = ​ 0 0 0 ​ Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.