Pertanyaan

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B ( 2 , 3 ) a. Hitunglah jarak BC b. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik P c. Hitunglah luas juring (sektor) mayor BAPCB . d. Tunjukkanlah bahwa luas daerah arsiran ialah 25 ( π + 1 ) satuan luas.

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran $ABCD$ yang berpusat di $D (6, 0)$ . Titik $P$ bergerak sedemikian sehingga $PB = BC = BA$ . Tempat kedudukan titik $P$ ialah lingkaran yang berpusat di $B (2, 3)$

a. Hitunglah jarak $BC$
b. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik $P$
c. Hitunglah luas juring (sektor) mayor $BAPCB$ .
d. Tunjukkanlah bahwa luas daerah arsiran ialah $25 (π + 1)$ satuan luas.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

a. Ingat rumus jarak titik ke titik ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ) berikut. jarak = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 Berdasarkan rumus tersebut, maka jarak BC adalah BC = = = = ( 9 − 2 ) 2 + ( 4 − 3 ) 2 49 + 1 50 5 2 b. Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan berjari-jari r sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui lingkaran berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan jari-jari lingkaran adalah r = BC = 5 2 , sehingga persamaan tempat kedudukan titik P adalah ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 x 2 − 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 37 = = = ( 5 2 ) 2 50 0 c. Perhatikan bahwa ∠ ABC merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter AC , sehingga ∠ ABC = 9 0 ∘ . Maka, luas juring BAPCB adalah L = = = = 36 0 ∘ 36 0 ∘ − 9 0 ∘ × π r 2 36 0 ∘ 27 0 ∘ × π ( 5 2 ) 2 4 3 × 50 π 37 , 5 π d. Luas arsiran dapat ditentukan dengan selisih luas juring BAPCB dengan 2 kali luas tembereng lingkaran kecil. Perhatikan gambar berikut. Pertama tentukan jari-jari lingkaran kecil dengan menentukan jarak BD . BC = = = = ( 2 − 6 ) 2 + ( 3 − 0 ) 2 16 + 9 25 5 Luas tembereng berwarna biru ditentukan sebagai berikut L T = = = = L 2 1 lingkaran − L △ ABC 2 1 π r 2 − 2 1 × A C × B D 2 1 π ( 5 ) 2 − 2 1 ( 10 ) ( 5 ) 2 25 π − 25 Dengan demikian, luas arsiran (daerah kuning) adalah L = = = = = L BAPCB − 2 L T 37 , 5 π − ( 2 25 π − 25 ) 37 , 5 π − 12 , 5 π + 25 25 π + 25 25 ( π + 1 )

a. Ingat rumus jarak titik ke titik $(x_{1}, y_{1}) dan (x_{2}, y_{2})$ berikut.

$jarak = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$

Berdasarkan rumus tersebut, maka jarak $BC$ adalah

$BC = = = = (9 - 2)^{2} + (4 - 3)^{2} 49 + 1 5052$

b. Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ sebagai berikut.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui lingkaran berpusat di titik $(2, 3)$ dan jari-jari lingkaran adalah $r = BC = 52$ , sehingga persamaan tempat kedudukan titik $P$ adalah

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9 x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 37 = = = (52)^{2} 500$

c. Perhatikan bahwa $∠ ABC$ merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter $AC$ , sehingga $∠ ABC = 9 0^{\circ}$ . Maka, luas juring $BAPCB$ adalah

$L = = = = \frac{36 0 ^{\circ} - 9 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2} \frac{27 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \times π (52)^{2} \frac{3}{4} \times 50 π 37, 5 π$

d. Luas arsiran dapat ditentukan dengan selisih luas juring $BAPCB$ dengan 2 kali luas tembereng lingkaran kecil. Perhatikan gambar berikut.

Pertama tentukan jari-jari lingkaran kecil dengan menentukan jarak $BD$ .

$BC = = = = (2 - 6)^{2} + (3 - 0)^{2} 16 + 9 255$

Luas tembereng berwarna biru ditentukan sebagai berikut

$L_{T} = = = = L_{\frac{1}{2} lingkaran} - L_{△ ABC} \frac{1}{2} π r^{2} - \frac{1}{2} \times A C \times B D \frac{1}{2} π (5)^{2} - \frac{1}{2} (10) (5) \frac{25}{2} π - 25$

Dengan demikian, luas arsiran (daerah kuning) adalah

$L = = = = = L_{BAPCB} - 2 L_{T} 37, 5 π - (\frac{25}{2} π - 25) 37, 5 π - 12, 5 π + 25 25 π + 25 25 (π + 1)$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, AOB adalah setengah lingkaran berpusat di D , dan AEB ialah busur lingkaran berpusat di C ( 10 , 11 ) . Persamaan garis AB diketahui 12 x + 16 y = 1 . Hitunglah: a. l...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada gambar berikut, AOB adalah setengah lingkaran berpusat di D , dan AEB ialah busur lingkaran berpusat di C ( 10 , 11 ) . Persamaan garis AB diketahui 12 x + 16 y = 1 . Hitunglah: a. l...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A ( 1 , 0 ) dan memiliki jari-jari 5 cm serta pusat lingkaran B ( 7 , 0 ) dan memiliki panjang jari-jari 4 cm . Tentukan: a. Titik potong kedua lingkar...

4.0

Jawaban terverifikasi