Pertanyaan

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A ( 1 , 0 ) dan memiliki jari-jari 5 cm serta pusat lingkaran B ( 7 , 0 ) dan memiliki panjang jari-jari 4 cm . Tentukan: a. Titik potong kedua lingkaran b. Luas irisan kedua lingkaran

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran $A (1, 0)$ dan memiliki jari-jari $5 cm$ serta pusat lingkaran $B (7, 0)$ dan memiliki panjang jari-jari $4 cm$ . Tentukan:

a. Titik potong kedua lingkaran

b. Luas irisan kedua lingkaran

S. Ayu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. DR. Hamka

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahui: Pusat lingkaran pertama dan Pusat lingkaran kedua dan a. Titik potong kedua lingkaran Tentukan terlebih dahulu persamaan kedua lingkaran tersebut. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari , adalah: Diperoleh: Persamaan lingkaran pertama, Persamaan lingkaran kedua, Kemudian eliminasi kelua persamaan lingkaran seperti berikut: Kemudian substitusi ke persamaan salah satu lingkaran untuk memperoleh titik seperti berikut: Diperoleh titik adalah dan . Maka, titik potong kedua lingkaran adalah dan . b. Luas irisan kedua lingkaran Tentukan panjang CD terlebih dahulu seperti berikut: Tentukan sudut kedua busur: Busur pada lingkaran pertama Busur pada lingkaran kedua Diperoleh dan Tentukan luas juring, luas sgitiga, dan luas tembereng kedua lingkaran: Luas juring lingkaran pertama Luas segitiga CAD Luas tembereng segitiga pertama Luas juring lingkaran kedua Luas segitiga CBD Luas tembereng segitiga kedua Luas irisan lingkaran adalah sebagai berikut: Maka, luasirisan kedua lingkaran adalah .

Diketahui:

Pusat lingkaran pertama dan

Pusat lingkaran kedua dan

a. Titik potong kedua lingkaran

Tentukan terlebih dahulu persamaan kedua lingkaran tersebut.

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari , adalah:

Diperoleh:

Persamaan lingkaran pertama,

Persamaan lingkaran kedua,

Kemudian eliminasi kelua persamaan lingkaran seperti berikut:

Kemudian substitusi ke persamaan salah satu lingkaran untuk memperoleh titik seperti berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals 24 row cell open parentheses 19 over 4 close parentheses squared plus y squared minus 2 open parentheses 19 over 4 close parentheses end cell equals 24 row cell 361 over 16 plus y squared minus 19 over 2 end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus fraction numerator 19 open parentheses 8 close parentheses over denominator 2 open parentheses 8 close parentheses end fraction end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus 152 over 16 end cell equals 24 row cell y squared plus 209 over 16 end cell equals 24 row cell y squared end cell equals cell 24 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell fraction numerator 24 open parentheses 16 close parentheses over denominator 16 end fraction minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 384 over 16 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 175 over 16 end cell row cell square root of y squared end root end cell equals cell plus-or-minus square root of 175 over 16 end root end cell row y equals cell plus-or-minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end cell end table end style$

Diperoleh titik adalah $begin mathsize 14px style y equals fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style$ dan $begin mathsize 14px style y equals negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style$ .

Maka, titik potong kedua lingkaran adalah dan $begin mathsize 14px style open parentheses 19 over 4 comma space minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses end style$ .

b. Luas irisan kedua lingkaran

Tentukan panjang CD terlebih dahulu seperti berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row CD equals cell square root of open parentheses 19 over 4 minus 19 over 4 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction minus open parentheses negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 0 plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 10 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction space cm end cell end table end style$

Tentukan sudut kedua busur:

Busur pada lingkaran pertama

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 5 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 5 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 50 minus begin display style 175 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator begin display style 25 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell arc space cos 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell 82 comma 82 degree end cell row cell angle CAD end cell equals cell 83 degree end cell end table end style$

Busur pada lingkaran kedua

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 4 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 4 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 32 minus begin display style 175 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator begin display style 337 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell arc space cos 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell 48 comma 84 degree end cell row cell angle CBD end cell equals cell 49 degree end cell end table end style$

Diperoleh dan

Tentukan luas juring, luas sgitiga, dan luas tembereng kedua lingkaran:

Luas juring lingkaran pertama

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 1 end cell equals cell fraction numerator angle CAD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 1 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 83 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 5 squared end cell row blank equals cell 18 comma 11 end cell row blank equals cell 18 space cm squared end cell end table end style$

Luas segitiga CAD

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CAD end cell equals cell 1 half times AC times AD times sin angle CAD end cell row blank equals cell 1 half times 5 squared times sin space 83 degree end cell row blank equals cell 1 half times 25 times open parentheses 0 comma 992546 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 12 comma 40 end cell row blank equals cell 12 space cm squared end cell end table end style$

Luas tembereng segitiga pertama

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 1 end cell equals cell Luas space juring subscript 1 minus Luas space increment CAD end cell row blank equals cell 18 space cm squared minus 12 space cm squared end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style

Luas juring lingkaran kedua

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 2 end cell equals cell fraction numerator angle CBD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 2 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 49 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 4 squared end cell row blank equals cell 6 comma 84 end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style$

Luas segitiga CBD

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CBD end cell equals cell 1 half times BC times BD times sin angle CBD end cell row blank equals cell 1 half times 4 squared times sin space 49 degree end cell row blank equals cell 1 half times 16 times left parenthesis 0 comma 75471 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 6 comma 03 end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style$

Luas tembereng segitiga kedua

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 2 end cell equals cell Luas space juring subscript 2 minus Luas space increment CBD end cell row blank equals cell 7 space cm squared minus 6 space cm squared end cell row blank equals cell 1 space cm squared end cell end table end style

Luas irisan lingkaran adalah sebagai berikut:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space irisan end cell equals cell Luas space tembereng subscript 1 plus Luas space tembereng subscript 2 end cell row blank equals cell 6 space cm squared plus 1 space cm squared end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style

Maka, luas irisan kedua lingkaran adalah .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B...

5.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada gambar berikut, AOB adalah setengah lingkaran berpusat di D , dan AEB ialah busur lingkaran berpusat di C ( 10 , 11 ) . Persamaan garis AB diketahui 12 x + 16 y = 1 . Hitunglah: a. l...

5.0

Jawaban terverifikasi

Suatu gunung api sedang mengalami erupsi dan mengakibatkan beberapa wilayah di sekitarnya terkena banjir lahar dingin serta hujan abu. Melalui citra satelit, didapatkan peta wilayah terdampak banjir l...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi