Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A(1,0) dan memiliki jari-jari 5cm serta pusat lingkaran B(7,0) dan memiliki panjang jari-jari 4cm. Tentukan: a. Titik potong kedua lingkaran b. Luas irisan kedua lingkaran

Pertanyaan

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran $\style{font-size:14px}{\mathrm A\left(1,\;0\right)}$ dan memiliki jari-jari $\style{font-size:14px}{5\;\mathrm{cm}}$ serta pusat lingkaran $\style{font-size:14px}{\mathrm B\left(7,\;0\right)}$ dan memiliki panjang jari-jari $\style{font-size:14px}{4\;\mathrm{cm}}$ . Tentukan:

a. Titik potong kedua lingkaran

b. Luas irisan kedua lingkaran

Pembahasan Soal:

Diketahui:

Pusat lingkaran pertama $begin mathsize 14px style straight A open parentheses 1 comma space 0 close parentheses end style$ dan $begin mathsize 14px style straight r subscript 1 equals 5 space cm end style$

Pusat lingkaran kedua $begin mathsize 14px style straight B open parentheses 7 comma space 0 close parentheses end style$ dan $begin mathsize 14px style straight r subscript 2 equals 4 space cm end style$

a. Titik potong kedua lingkaran

Tentukan terlebih dahulu persamaan kedua lingkaran tersebut.

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat $begin mathsize 14px style straight P open parentheses straight a comma space straight b close parentheses end style$ dan jari-jari $begin mathsize 14px style straight r end style$ , adalah:

$begin mathsize 14px style open parentheses x minus straight a close parentheses squared plus open parentheses y minus straight b close parentheses squared equals straight r squared end style$

Diperoleh:

Persamaan lingkaran pertama,

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript 1 space colon space open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus open parentheses y minus 0 close parentheses squared end cell equals cell 5 squared end cell row cell x squared minus 2 x plus 1 plus y squared end cell equals 25 row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals cell 25 minus 1 end cell row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals 24 end table end style$

Persamaan lingkaran kedua,

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript 2 space colon space open parentheses x minus 7 close parentheses squared plus open parentheses y minus 0 close parentheses squared end cell equals cell 4 squared end cell row cell x squared minus 14 x plus 49 plus y squared end cell equals 16 row cell x squared plus y squared minus 14 x end cell equals cell 16 minus 49 end cell row cell x squared plus y squared minus 14 x end cell equals cell negative 33 end cell end table end style$

Kemudian eliminasi kelua persamaan lingkaran seperti berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left end attributes row cell down diagonal strike x squared end strike plus down diagonal strike y squared end strike minus 2 x end cell equals 24 row cell down diagonal strike x squared end strike plus down diagonal strike y squared end strike minus 14 x end cell equals cell negative 33 space minus end cell row cell 12 x end cell equals 57 row x equals cell 57 over 12 end cell row x equals cell 19 over 4 end cell end table end style$

Kemudian substitusi $begin mathsize 14px style x equals 19 over 4 end style$ ke persamaan salah satu lingkaran untuk memperoleh titik $undefined$ seperti berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals 24 row cell open parentheses 19 over 4 close parentheses squared plus y squared minus 2 open parentheses 19 over 4 close parentheses end cell equals 24 row cell 361 over 16 plus y squared minus 19 over 2 end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus fraction numerator 19 open parentheses 8 close parentheses over denominator 2 open parentheses 8 close parentheses end fraction end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus 152 over 16 end cell equals 24 row cell y squared plus 209 over 16 end cell equals 24 row cell y squared end cell equals cell 24 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell fraction numerator 24 open parentheses 16 close parentheses over denominator 16 end fraction minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 384 over 16 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 175 over 16 end cell row cell square root of y squared end root end cell equals cell plus-or-minus square root of 175 over 16 end root end cell row y equals cell plus-or-minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end cell end table end style$

Diperoleh titik $undefined$ adalah $begin mathsize 14px style y equals fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style$ dan $begin mathsize 14px style y equals negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style$ .

Maka, titik potong kedua lingkaran adalah $undefined$ dan $begin mathsize 14px style open parentheses 19 over 4 comma space minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses end style$ .

b. Luas irisan kedua lingkaran

Tentukan panjang CD terlebih dahulu seperti berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row CD equals cell square root of open parentheses 19 over 4 minus 19 over 4 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction minus open parentheses negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 0 plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 10 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction space cm end cell end table end style$

Tentukan sudut kedua busur:

Busur pada lingkaran pertama

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 5 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 5 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 50 minus begin display style 175 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator begin display style 25 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell arc space cos 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell 82 comma 82 degree end cell row cell angle CAD end cell equals cell 83 degree end cell end table end style$

Busur pada lingkaran kedua

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 4 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 4 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 32 minus begin display style 175 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator begin display style 337 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell arc space cos 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell 48 comma 84 degree end cell row cell angle CBD end cell equals cell 49 degree end cell end table end style$

Diperoleh $begin mathsize 14px style angle CAD equals 83 degree end style$ dan $begin mathsize 14px style angle CBD equals 49 degree end style$

Tentukan luas juring, luas sgitiga, dan luas tembereng kedua lingkaran:

Luas juring lingkaran pertama

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 1 end cell equals cell fraction numerator angle CAD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 1 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 83 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 5 squared end cell row blank equals cell 18 comma 11 end cell row blank equals cell 18 space cm squared end cell end table end style$

Luas segitiga CAD

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CAD end cell equals cell 1 half times AC times AD times sin angle CAD end cell row blank equals cell 1 half times 5 squared times sin space 83 degree end cell row blank equals cell 1 half times 25 times open parentheses 0 comma 992546 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 12 comma 40 end cell row blank equals cell 12 space cm squared end cell end table end style$

Luas tembereng segitiga pertama

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 1 end cell equals cell Luas space juring subscript 1 minus Luas space increment CAD end cell row blank equals cell 18 space cm squared minus 12 space cm squared end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style$

Luas juring lingkaran kedua

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 2 end cell equals cell fraction numerator angle CBD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 2 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 49 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 4 squared end cell row blank equals cell 6 comma 84 end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style$

Luas segitiga CBD

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CBD end cell equals cell 1 half times BC times BD times sin angle CBD end cell row blank equals cell 1 half times 4 squared times sin space 49 degree end cell row blank equals cell 1 half times 16 times left parenthesis 0 comma 75471 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 6 comma 03 end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style$

Luas tembereng segitiga kedua

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 2 end cell equals cell Luas space juring subscript 2 minus Luas space increment CBD end cell row blank equals cell 7 space cm squared minus 6 space cm squared end cell row blank equals cell 1 space cm squared end cell end table end style$

Luas irisan lingkaran adalah sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space irisan end cell equals cell Luas space tembereng subscript 1 plus Luas space tembereng subscript 2 end cell row blank equals cell 6 space cm squared plus 1 space cm squared end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style$

Maka, luas irisan kedua lingkaran adalah $begin mathsize 14px style 7 space cm squared end style$ .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

S. Ayu

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. DR. Hamka

Terakhir diupdate 05 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L1≡x2+y2−2x−6y+9=0L2≡x2+y2−4x−10y+19=0

Roboguru

Gelombang radio terpancar pada frekwensi dan radius tertentu. Pada frekwensi yang sama, siaran radio tidak akan tertangkap jika terjadi tumpang tindih daerah dengan siaran radio lain. Solusinya adalah...

Roboguru

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat (6,8) menyinggung sumbu-y. Lingkaran kedua dengan pusat (0,0) dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas da...

Roboguru

Lingkaran A dengan persamaan (x+1)2+(y+6)2=25 dan lingkaran B dengan persamaan (x+6)2+(y+6)2=25berpotongan di titik C dan D. Luas daerah perpotongan tersebut adalah ... satuan luas.

Roboguru

Perhatikan gambar berikut. Titik A dan B adalah pusat 2 lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 satuan. Luas daerah yang diarsir adalah ...

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Bantuan & Panduan

Hubungi Kami

081578200000

info@ruangguru.com

02140008000

Ikuti Kami

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran A(1,0) dan memiliki jari-jari 5cm serta pusat lingkaran B(7,0) dan memiliki panjang jari-jari 4cm. Tentukan: a. Titik potong kedua lingkaran b. Luas irisan kedua lingkaran

Pertanyaan

Pembahasan Soal:

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Pertanyaan yang serupa

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L1​≡x2+y2−2x−6y+9=0L2​≡x2+y2−4x−10y+19=0

Gelombang radio terpancar pada frekwensi dan radius tertentu. Pada frekwensi yang sama, siaran radio tidak akan tertangkap jika terjadi tumpang tindih daerah dengan siaran radio lain. Solusinya adalah...

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat (6,8) menyinggung sumbu-y. Lingkaran kedua dengan pusat (0,0) dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas da...

Lingkaran A dengan persamaan (x+1)2+(y+6)2=25 dan lingkaran B dengan persamaan (x+6)2+(y+6)2=25berpotongan di titik C dan D. Luas daerah perpotongan tersebut adalah ... satuan luas.

Perhatikan gambar berikut. Titik A dan B adalah pusat 2 lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 satuan. Luas daerah yang diarsir adalah ...

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L1≡x2+y2−2x−6y+9=0L2≡x2+y2−4x−10y+19=0