Roboguru

Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y)=3y−2x dari sistem pertidaksamaan: ⎩⎨⎧​x+2y≥10−x+y≤2x+y≤10​

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan begin mathsize 14px style f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 y minus 2 x end style dari sistem pertidaksamaan:

begin mathsize 14px style open curly brackets table row cell x plus 2 y greater or equal than 10 end cell row cell negative x plus y less or equal than 2 end cell row cell x plus y less or equal than 10 end cell end table close end style   

Pembahasan Soal:

Terlebih dahulu dicari daerah penyelesaian yang memenuhi kendala.
Terlebih dahulu menggambar garis dengan persamaan begin mathsize 14px style x plus 2 y equals 10 end style,size 14px minus size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 2 dan size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 10 dengan dicari titik-titik yang dilalui persamaan  begin mathsize 14px style x plus 2 y equals 10 end style,size 14px minus size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 2 dan size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 10 diperoleh titik (0,5) dan (10,0) yang dilalui garis begin mathsize 14px style x plus 2 y equals 10 end style dan titik begin mathsize 14px style left parenthesis negative 2 comma 0 right parenthesis end style dan (0,2) yang dilalui garis size 14px minus size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 2 serta titik (10,0) dan (0,10) yang dilalui garis size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 10.

Ditentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan.

  • Daerah penyelesaian begin mathsize 14px style x plus 2 y space greater or equal than 10 end style berada di atas garis begin mathsize 14px style x plus 2 y equals 10 end style
  • Daerah penyelesaian begin mathsize 14px style negative x plus y less or equal than 2 end style berada di bawah garis size 14px minus size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 2
  • Daerah penyelesaian begin mathsize 14px style x plus y less or equal than 10 end style berada di bawah garis size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 10

Diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.

Selanjutnya dilakukan uji titik pojok untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan.
Dari gambar diketahui titik pojok (2,4),(4,6), dan (10,0). Uji titik pojok ke fungsi tujuan begin mathsize 14px style f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 y minus 2 x end style.

Titik pojok  begin mathsize 14px style f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 y minus 2 x end style
(2,4) begin mathsize 14px style f left parenthesis 2 comma 4 right parenthesis equals 3 open parentheses 4 close parentheses minus 2 open parentheses 2 close parentheses equals 8 end style
(4,6) begin mathsize 14px style f left parenthesis 4 comma 6 right parenthesis equals 3 left parenthesis 6 right parenthesis minus 2 left parenthesis 4 right parenthesis equals 10 end style
(10,0)  begin mathsize 14px style f left parenthesis 10 comma 0 right parenthesis equals 3 left parenthesis 0 right parenthesis minus 2 left parenthesis 10 right parenthesis equals negative 20 end style

Dari tabel di atas diperoleh titik pojok yang memiliki nilai maksimal adalah titik (4,6) dengan nilai 10.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

M. Mariyam

Mahasiswa/Alumni Institut Pertanian Bogor

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahuisistempertidaksamaanx+3y≤9,2x+y≤8,x≥0,dany≥0Nilaimaksimumdarifungsiobyektiff(x,y)=2x+3yadalah..

Pembahasan Soal:

Syarat kendala pada soal diatas adalah :

2x + y  ≥ 7   …  (1)

x + y  ≥  5    …   (2)

x ≥ 0 , y ≥ 0

buat grafik pertidaksmaan linear pada syarat diatas menjadi :

Titik potong kedua garis diperoleh dari mensubstitusi persamaan (2) ke persamaan (1) :

2 x plus y equals 7  2 x plus left parenthesis 5 minus x right parenthesis equals 7  x equals 2  m a k a space y space equals space 5 minus 2 equals 3  d e n g a n space m e t o d e space t i t i k space p o j o k space p a d a space h i m p u n a n space p e n y e l e s a i a n space d i p e r o l e h space t i t i k space p o j o k comma space s b b space  left parenthesis space 5 comma 0 space right parenthesis comma space left parenthesis 2 comma 3 right parenthesis space d a n space left parenthesis 0.7 right parenthesis space m a s u k k a n space k e space f u n g s i space o p t i m u m n y a space f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y  f left parenthesis 5 comma 0 right parenthesis space equals space 4 left parenthesis 5 right parenthesis space plus space 5 left parenthesis 0 right parenthesis space equals space 20  f left parenthesis 2 comma 3 right parenthesis space equals space 4 left parenthesis 2 right parenthesis space plus space 5 left parenthesis 3 right parenthesis space equals space 23  f left parenthesis 0 comma 7 right parenthesis space equals space 4 left parenthesis 0 right parenthesis space plus space 5 left parenthesis 7 right parenthesis space equals space 35  j a d i comma space n i l a i space m i n i m u m n y a space a d a l a h space 20

0

Roboguru

Sekolah akan menyewa paling sedikit 8 unit kendaraan terdiri atas bus dan minibus untuk mengangkut 300 siswa. Banyak bus dan minibus yang disewa masirig-masing tidak kurang dari 2 unit. Setiap bus dap...

Pembahasan Soal:

Misalkan banyak bus adalah begin mathsize 14px style x end style dan banyak minibus adalah begin mathsize 14px style y end style.

permasalahan di atas dapat dibuatkan dalam tabel berikut:

  

Model matematika permasalahan di atas adalah 

begin mathsize 14px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus y greater or equal than 8 end cell row cell 50 x plus 25 y greater or equal than 300 rightwards arrow 2 x plus y greater or equal than 12 end cell row cell x greater or equal than 2 end cell row cell y greater or equal than 2 end cell end table close end style 

dengan fungsi objektif nya adalah

begin mathsize 14px style f open parentheses x comma space y close parentheses equals 1.300.000 x plus 700.000 space y end style 

Grafik fungsi daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah 

Titik pojok grafik tersebut adalah

(i) Titik begin mathsize 14px style text A end text end style

Titik undefined adalah titik potong garis begin mathsize 14px style y equals 2 end style dan begin mathsize 14px style x plus y equals 8 end style, maka

begin mathsize 14px style x plus y equals 8 space rightwards arrow x plus 2 equals 8 space rightwards arrow x equals 8 minus 2 rightwards arrow x equals 6 end style

Koordinat titik undefined adalah begin mathsize 14px style open parentheses 6 comma space 2 close parentheses end style 

(ii) Titik begin mathsize 14px style text B end text end style 

Titik B adalah titik potong garis begin mathsize 14px style 2 x plus y equals 12 end style dan undefined, maka

begin mathsize 14px style 2 x plus y equals 12 space space bottom enclose x plus y equals 8 end enclose space minus space space space space space space space x equals 4 end style 

Subtitusikan nilai begin mathsize 14px style x equals 4 end style ke persamaan undefined, maka 

begin mathsize 14px style x plus y equals 8 rightwards arrow 4 plus y equals 8 rightwards arrow y equals 4 end style 

Koordinat titik undefined adalah begin mathsize 14px style open parentheses 4 comma space 4 close parentheses end style 

(iii) Titik begin mathsize 14px style text C end text end style 

Titik undefined merupakan titik potong garis begin mathsize 14px style x equals 2 end style dan garis undefined, maka

begin mathsize 14px style 2 x plus y equals 12 rightwards arrow 2 open parentheses 2 close parentheses plus y equals 12 rightwards arrow y equals 8 end style 

Koordinat titik undefined adalah begin mathsize 14px style open parentheses 2 comma space 8 close parentheses end style 

Nilai Minimun fungsi tersebut dapat ditentukan dengan mensubtitusikan titik pojok ke fungsi objektif, sehingga

begin mathsize 14px style f open parentheses x comma space y close parentheses equals 1.300.000 x plus 700.000 y f open parentheses 6 comma space 2 close parentheses equals 1.300.000 open parentheses 6 close parentheses plus 700.000 open parentheses 2 close parentheses equals 9.200.000 f open parentheses 4 comma space 4 close parentheses equals 1.300.000 open parentheses 4 close parentheses plus 700.000 open parentheses 4 close parentheses equals 8.000.000 f open parentheses 2 comma space 8 close parentheses equals 1.300.000 open parentheses 2 close parentheses plus 700.000 open parentheses 8 close parentheses equals 8.200.000 end style 

Jadi biaya sewa minimun adala begin mathsize 14px style R p space 8.000.000 comma 00 end style 

Jadi, jawaban yang tepat adalah B

1

Roboguru

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi objektif f(x,y)=3x+4y dari daerah penyelesaian berikut.

Pembahasan Soal:

Ingat konsep uji titik pojok untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi objektif.

Berdasarkan informasi soal di atas, fungsi objektif yang digunakan adalah f open parentheses x comma y close parentheses equals 3 x plus 4 y.

Titik-titik pojok yang digunakan yaitu open parentheses 2 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 4 comma 1 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 2 close parentheses comma space open parentheses 2 comma 3 close parentheses comma space dan open parentheses 4 comma 3 close parentheses.

Dengan menggunakan uji titik pojok, nilai maksimum dan minimum dapat dicari dengan bantuan tabel berikut:

Jadi, nilai maksimumnya adalah 24 untuk x equals 4 dan x equals 3 , sedangkan nilai minimumnya adalah 6 untuk x equals 2 dan y equals 0.

 

0

Roboguru

Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata untuk sebuah sedan 6 m2 dan untuk sebuah bus 24 m2. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Jika biaya parkir untuk sebuah sedan adalah ...

Pembahasan Soal:

Sedan = x

Bus = y

  • “Luas daerah” dan “tidak dapat memuat lebih dari”, maka tanda yang digunakan adalah less or equal than
  • Penulisan model matematika jumlah luas mobil dalam lahan pakir :

luas sedan + luas bus less or equal thanluas daerah parkir

6 x plus 24 y less or equal than 360 space  x plus 4 y less or equal than 60

  • Penulisan model matematika untuk jumlah mobil:

sedan+busless or equal than kapasitas kendaraan di lahan parkir

x plus y less or equal than 30

  • Menghitung jumlah bus dan sedan yang parkir di daerah tersebut :

Misalkan
x plus y equals 30 space  x equals 30 minus y

Substitusikan nilai x

x plus 4 y equals 60 space  left parenthesis 30 minus y right parenthesis plus 4 y equals 60 space  3 y equals 30 space  y equals 10            x plus y equals 30 space  x plus 10 equals 30 space  x equals 30 minus 10 space  x equals 20

Titik potongnya adalah (20,10)

  • Substitusi nilai x dan y pada fungsi keuntungan dari lahan parkir :

f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3000 x plus 5000 y

keuntungan left parenthesis 20 space comma 10 right parenthesis equals 3000 left parenthesis 20 right parenthesis plus 5000 left parenthesis 10 right parenthesis equals 110.000

Maka keuntungan yang diperoleh daerah parkir tersebut adalah Rp 100.000.

2

Roboguru

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif yang ditentukan dari daerah penyelesaian yang diraster berikut dengan menggunakan garis selidik. a.

Pembahasan Soal:

Ingat, untuk membuat garis selidik, kita dapat memisalkan fungsi objektif f left parenthesis x right parenthesis equals a x plus b y menjadi a x plus b y equals a b dan cari titik potongnya dengan sumbu X dan sumbu Y.

maka, buat garis g dari fungsi objektif 10 x plus 15 y equals 150.

Geser garis g sehingga melalui titik yang paling kiri. Diperoleh garis g subscript 1 yang sejajar dengan garis g dan melalui titik (0,0). Jadi, nilai minimumnya adalah,

f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 10.0 plus 15.0 equals 0

Geser garis g sehingga melalui titik yang paling kanan. Diperoleh garis g subscript 2 yang sejajar dengan garis g dan melalui titik open parentheses 12 comma 24 close parentheses. Jadi, nilai maksimumnya adalah,

f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 10.12 plus 15.24 equals 120 plus 360 equals 480

Jadi, nilai minimum dari fungsi objektif tersebut adalah 0 dan nilai maksimumnya adalah 480.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved