Pertanyaan

Tentukan nilai agar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 = 0 menyinggung garis y = 5 x − 17 .

Tentukan nilai $p$ agar lingkaran

$L \equiv x^{2} + y^{2} + 2 p x - p y - 12 = 0$

menyinggung garis $y = 5 x - 17$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

agar garis menyinggung lingkaran, nilai p = 18 374 + 2 34.763 atau p = 18 374 − 2 34.763

agar garis menyinggung lingkaran, nilai

p = \frac{374 + 2 34.763}{18}

atau

p = \frac{374 - 2 34.763}{18}

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L .Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikan persamaan garis y = 5 x − 17 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 = 0 sebagaiberikut. x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 x 2 + ( 5 x − 17 ) 2 + 2 p x − p ( 5 x − 17 ) − 12 x 2 + 25 x 2 − 170 x + 289 + 2 p x − 5 p x + 17 p − 12 26 x 2 + − 170 x − 3 p x + 17 p + 277 26 x 2 + ( − 3 p − 170 ) x + 17 p + 277 = = = = = 0 0 0 0 0 Diperoleh a = 26 , b = − 3 p − 170 , dan c = 17 p + 277 Agar lingkaran tersebut menyinggung garis, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah D = 0 . Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. D b 2 − 4 a c ( − 3 p − 170 ) 2 − 4 ⋅ 26 ⋅ ( 17 p + 277 ) 9 p 2 + 1.020 p + 28.900 − 1.768 p − 28.808 9 p 2 − 748 p + 92 = = = = = 0 0 0 0 0 Dengan menggunakan rumus kuadratik diperoleh nilai , yaitu p 1 , 2 = = = = = = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 ⋅ 9 748 ± ( − 748 ) 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 92 18 748 ± 559.504 − 3.312 18 748 ± 556.192 18 748 ± 4 34.763 9 374 ± 2 34.763 Dengan demikian, agar garis menyinggung lingkaran, nilai p = 18 374 + 2 34.763 atau p = 18 374 − 2 34.763

Misalkan diketahui persamaan garis lurus $g$ dan lingkaran $L$ . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$ sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ , dengan $a \neq = 0$ .

Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat $D = b^{2} - 4 a c$ , dapat ditentukan posisi garis $g$ terhadap lingkaran $L$ . Jika $D = 0$ , maka garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ .

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

Substitusikan persamaan garis $y = 5 x - 17$ ke dalam persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 p x - p y - 12 = 0$ sebagai berikut.

$x^{2} + y^{2} + 2 p x - p y - 12 x^{2} + (5 x - 17)^{2} + 2 p x - p (5 x - 17) - 12 x^{2} + 25 x^{2} - 170 x + 289 + 2 p x - 5 p x + 17 p - 12 26 x^{2} + - 170 x - 3 p x + 17 p + 277 26 x^{2} + (- 3 p - 170) x + 17 p + 277 = = = = = 00000$

Diperoleh $a = 26$ , $b = - 3 p - 170$ , dan $c = 17 p + 277$

Agar lingkaran tersebut menyinggung garis, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah $D = 0$ .

Nilai $p$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$D b^{2} - 4 a c (- 3 p - 170)^{2} - 4 \cdot 26 \cdot (17 p + 277) 9 p^{2} + 1.020 p + 28.900 - 1.768 p - 28.808 9 p^{2} - 748 p + 92 = = = = = 00000$

Dengan menggunakan rumus kuadratik diperoleh nilai $p$ , yaitu

$p_{1, 2} = = = = = = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{748 \pm ( - 748 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 92}{2 \cdot 9} \frac{748 \pm 559.504 - 3.312}{18} \frac{748 \pm 556.192}{18} \frac{748 \pm 4 34.763}{18} \frac{374 \pm 2 34.763}{9}$