Tentukan nilai agar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 = 0 menyinggung garis y = 5 x − 17 .

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L .Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikan persamaan garis y = 5 x − 17 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 = 0 sebagaiberikut. x 2 + y 2 + 2 p x − p y − 12 x 2 + ( 5 x − 17 ) 2 + 2 p x − p ( 5 x − 17 ) − 12 x 2 + 25 x 2 − 170 x + 289 + 2 p x − 5 p x + 17 p − 12 26 x 2 + − 170 x − 3 p x + 17 p + 277 26 x 2 + ( − 3 p − 170 ) x + 17 p + 277 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ Diperoleh a = 26 , b = − 3 p − 170 , dan c = 17 p + 277 Agar lingkaran tersebut menyinggung garis, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah D = 0 . Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. D b 2 − 4 a c ( − 3 p − 170 ) 2 − 4 ⋅ 26 ⋅ ( 17 p + 277 ) 9 p 2 + 1.020 p + 28.900 − 1.768 p − 28.808 9 p 2 − 748 p + 92 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ Dengan menggunakan rumus kuadratik diperoleh nilai , yaitu p 1 , 2 ​ ​ = = = = = = ​ 2 a − b ± b 2 − 4 a c ​ ​ 2 ⋅ 9 748 ± ( − 748 ) 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 92 ​ ​ 18 748 ± 559.504 − 3.312 ​ ​ 18 748 ± 556.192 ​ ​ 18 748 ± 4 34.763 ​ ​ 9 374 ± 2 34.763 ​ ​ ​ Dengan demikian, agar garis menyinggung lingkaran, nilai p = 18 374 + 2 34.763 ​ ​ atau p = 18 374 − 2 34.763 ​ ​