Pertanyaan

Tentukan nilai agar garis 4 x − 3 y + c = 0 menyinggung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 12 x = 0 .

Tentukan nilai $c$ agar garis $4 x - 3 y + c = 0$ menyinggung lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + 12 x = 0$ .

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

agar garis menyinggung lingkaran, nilai c = − 6 atau c = 54

agar garis menyinggung lingkaran, nilai

c = - 6

atau

c = 54

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L .Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikan persamaan garis 4 x − 3 y + c = 0 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 12 x = 0 sebagaiberikut. 4 x − 3 y + c 3 y y = = = 0 4 x + c 3 4 x + c Diperoleh x 2 + y 2 + 12 x x 2 + ( 3 4 x + c ) 2 + 12 x x 2 + 9 16 x 2 + 8 c x + c 2 + 12 x 9 x 2 + 16 x 2 + 8 c x + c 2 + 108 x 25 x 2 + ( 8 c + 108 ) x + c 2 = = = = = 0 0 0 0 0 Agar garis tersebut menyinggung lingkaran, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah D = 0 . Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. D b 2 − 4 a c ( 8 c + 108 ) 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ c 2 64 c 2 + 1.728 c + 11.664 − 100 c 2 − 36 c 2 + 1.728 c + 11.664 c 2 − 48 c − 324 ( c + 6 ) ( x − 54 ) = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 c = − 6 atau c = 54 Dengan demikian, agar garis menyinggung lingkaran, nilai c = − 6 atau c = 54

Misalkan diketahui persamaan garis lurus $g$ dan lingkaran $L$ . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$ sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ , dengan $a \neq = 0$ .

Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat $D = b^{2} - 4 a c$ , dapat ditentukan posisi garis $g$ terhadap lingkaran $L$ . Jika $D = 0$ , maka garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ .

Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut.

Substitusikan persamaan garis $4 x - 3 y + c = 0$ ke dalam persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 12 x = 0$ sebagai berikut.

$4 x - 3 y + c 3 y y = = = 0 4 x + c \frac{4 x + c}{3}$

Diperoleh

$x^{2} + y^{2} + 12 x x^{2} + (\frac{4 x + c}{3})^{2} + 12 x x^{2} + \frac{16 x ^{2} + 8 c x + c ^{2}}{9} + 12 x 9 x^{2} + 16 x^{2} + 8 c x + c^{2} + 108 x 25 x^{2} + (8 c + 108) x + c^{2} = = = = = 00000$

Agar garis tersebut menyinggung lingkaran, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah $D = 0$ .

Nilai $c$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$D b^{2} - 4 a c (8 c + 108)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot c^{2} 64 c^{2} + 1.728 c + 11.664 - 100 c^{2} - 36 c^{2} + 1.728 c + 11.664 c^{2} - 48 c - 324 (c + 6) (x - 54) = = = = = = = 0000000$