Pertanyaan

Tentukan nilai n agar garis yang diberikan dapat: c. tidak memotong lingkaran dari lingkaran dan garis berikut. x 2 + y 2 = 4 ; y = n x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 ; y = x − n

Tentukan nilai $n$ agar garis yang diberikan dapat:

c. tidak memotong lingkaran dari lingkaran dan garis berikut.

$x^{2} + y^{2} = 4; y = n$
$x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0; y = x - n$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

L. Sibuea

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai n agar garis y = n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 adalah n < − 2 atau n > 2 dannilai n agar garis y = x − n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 adalah − 1 < n < 3 .

nilai

n

agar garis

y = n

tidak memotong lingkaran

x^{2} + y^{2} = 4

adalah

n < - 2 atau n > 2

dan nilai

n

agar garis

y = x - n

tidak memotong lingkaran

x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0

adalah

- 1 < n < 3

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahnilai n agar garis y = n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 adalah n < − 2 atau n > 2 ataudannilai n agar garis y = x − n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 adalah − 1 < n < 3 . Ingat! Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat ditentukan dari nilai diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat yang diperoleh saat mesubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Rumus mencari nilai diskriminan adalah: D = b 2 − 4 a c Jika D > 0 , garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda. Jika D = 0 , garis g menyinggunglingkaran L di satu titik. Jika D < 0 , garis g tidak memotong lingkaran L . c.Garis tidak memotong lingkaran dengan syarat D < 0 , sehingga dapat dicari nilai n sebagai berikut. Pertama akan dicari nilai n pada lingkaran x 2 + y 2 = 4 dan garis y = n . Substitusi garis y = n ke dalam lingkaran x 2 + y 2 = 4 . x 2 + y 2 = 4 x 2 + n 2 − 4 = 0 Diperoleh a = 1 , b = 0 , dan c = n 2 − 4 , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut: D = b 2 − 4 a c = 0 2 − 4 ( 1 ) ( n 2 − 4 ) = − 4 n 2 + 16 Syarat garis tidak memotong lingkaran adalah D < 0 , sehingga diperoleh − 4 n 2 + 16 < 0 . Untuk − 4 n 2 + 16 = 0 diperoleh n = 2 atau n = − 2 . Untuk menentukan daerah penyelesaiannya menggunakan garis bilangan seperti berikut: Daerah yang memenuhi adalah daerah yang bernilai negatif, sehingga nilai n yang memenuhi adalah n < − 2 atau n > 2 . Kedua akan dicari nilai n pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 dan garis y = x − n . Substitusi garis y = x − n ke dalam lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 . x 2 + y 2 + 2 y − 1 ( y + n ) 2 + y 2 + 2 y − 1 y 2 + 2 n y + n 2 + y 2 + 2 y − 1 2 y 2 + ( 2 n + 2 ) y + ( n 2 − 1 ) = = = = 0 0 0 0 Diperoleh a = 2 , b = 2 n + 2 , dan c = n 2 − 1 , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut: D = b 2 − 4 a c = ( 2 n + 2 ) 2 − 4 ( 2 ) ( n 2 − 1 ) = − 4 n 2 + 8 n + 12 = n 2 − 2 n − 3 Syarat garis tidak memotong lingkaran adalah D < 0 , sehingga diperoleh n 2 − 2 n − 3 < 0 . Untuk n 2 − 2 n − 3 = 0 diperoleh n = 3 atau n = − 1 . Untuk menentukan daerah penyelesaiannya menggunakan garis bilangan seperti berikut: Daerah yang memenuhi adalah daerah yang bernilai negatif, sehingga nilai n yang memenuhi adalah − 1 < n < 3 . Dengan demikian,nilai n agar garis y = n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 adalah n < − 2 atau n > 2 dannilai n agar garis y = x − n tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 adalah − 1 < n < 3 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai $n$ agar garis $y = n$ tidak memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ adalah $n < - 2 atau n > 2$ atau dan nilai $n$ agar garis $y = x - n$ tidak memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ adalah $- 1 < n < 3$ .

Ingat!

Hubungan antara garis $g$ dan lingkaran $L$ dapat ditentukan dari nilai diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat yang diperoleh saat mesubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Rumus mencari nilai diskriminan adalah:

$D = b^{2} - 4 a c$

Jika $D > 0$ , garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berbeda.
Jika $D = 0$ , garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ di satu titik.
Jika $D < 0$ , garis $g$ tidak memotong lingkaran $L$ .

c. Garis tidak memotong lingkaran dengan syarat $D < 0$ , sehingga dapat dicari nilai $n$ sebagai berikut.

Pertama akan dicari nilai n pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ dan garis $y = n$ .

Substitusi garis $y = n$ ke dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ .

$x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} + n^{2} - 4 = 0$

Diperoleh $a = 1, b = 0, dan c = n^{2} - 4$ , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut:

$D = b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (n^{2} - 4) = - 4 n^{2} + 16$

Syarat garis tidak memotong lingkaran adalah $D < 0$ , sehingga diperoleh $- 4 n^{2} + 16 < 0$ . Untuk $- 4 n^{2} + 16 = 0$ diperoleh $n = 2 atau n = - 2$ . Untuk menentukan daerah penyelesaiannya menggunakan garis bilangan seperti berikut:

Daerah yang memenuhi adalah daerah yang bernilai negatif, sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $n < - 2 atau n > 2$ .

Kedua akan dicari nilai n pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ dan garis $y = x - n$ .

Substitusi garis $y = x - n$ ke dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 (y + n)^{2} + y^{2} + 2 y - 1 y^{2} + 2 n y + n^{2} + y^{2} + 2 y - 1 2 y^{2} + (2 n + 2) y + (n^{2} - 1) = = = = 0000$

Diperoleh $a = 2, b = 2 n + 2, dan c = n^{2} - 1$ , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut:

$D = b^{2} - 4 a c = (2 n + 2)^{2} - 4 (2) (n^{2} - 1) = - 4 n^{2} + 8 n + 12 = n^{2} - 2 n - 3$

Syarat garis tidak memotong lingkaran adalah $D < 0$ , sehingga diperoleh $n^{2} - 2 n - 3 < 0$ . Untuk $n^{2} - 2 n - 3 = 0$ diperoleh $n = 3 atau n = - 1$ . Untuk menentukan daerah penyelesaiannya menggunakan garis bilangan seperti berikut:

Daerah yang memenuhi adalah daerah yang bernilai negatif, sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $- 1 < n < 3$ .

Dengan demikian, nilai $n$ agar garis $y = n$ tidak memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ adalah $n < - 2 atau n > 2$ dan nilai $n$ agar garis $y = x - n$ tidak memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ adalah $- 1 < n < 3$ .