Pertanyaan

Tentukan nilai n agar garis yang diberikan dapat: a. memotong di satu titik, x 2 + y 2 = 4 ; y = n x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 ; y = x − n

Tentukan nilai $n$ agar garis yang diberikan dapat:

a. memotong di satu titik,

$x^{2} + y^{2} = 4$ ; $y = n$
$x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ ; $y = x - n$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai n agar garis y = n dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 di satu titik adalah n = 2 atau n = − 2 dan nilai n agar garis y = x − n yang dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 di satu titik adalah n = 3 atau n = − 1 .

nilai

n

agar garis

y = n

dapat memotong lingkaran

x^{2} + y^{2} = 4

di satu titik adalah

n = 2 atau n = - 2

dan nilai

n

agar garis

y = x - n

yang dapat memotong lingkaran

x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0

di satu titik adalah

n = 3 atau n = - 1

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai n agar garis y = n dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 di satu titik adalah n = − 2 atau n = 2 dannilai n agar garis y = x − n dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 di satu titik adalah n = 3 atau n = − 1 . Ingat! Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat ditentukan dari nilai diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat yang diperoleh saat mesubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Rumus mencari nilai diskriminan adalah D = b 2 − 4 a c . Jika D > 0 , garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda. Jika D = 0 , garis g menyinggunglingkaran L di satu titik. Jika D < 0 , garis g tidak memotong lingkaran L . a. Garis memotong di satu titik dengan syarat D = 0 maka nilai n dapat dihitung sebagai berikut. Pertama akan dicari nilai n pada lingkaran dan garis x 2 + y 2 = 4 ; y = n . Substitusi garis y = n ke dalam lingkaran x 2 + y 2 = 4 . x 2 + y 2 x 2 + n 2 − 4 = = 4 0 Diperoleh a = 1 , b = 0 dan c = n 2 − 4 , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut: D = = = b 2 − 4 a c 0 2 − 4 ( 1 ) ( n 2 − 4 ) − 4 n 2 + 16 Syarat garis memotong lingkaran di satu titik adalah D = 0 maka nilai n dapat dihitung sebagai berikut: D − 4 n 2 + 16 − 4 n 2 n 2 n n = = = = = = 0 0 − 16 4 4 ± 2 Kedua akan dicari nilai n pada lingkaran dan garis x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 ; y = x − n . Substitusi garis y = x − n ⇔ x = y + n ke dalam lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 . x 2 + y 2 + 2 y − 1 ( y + n ) 2 + y 2 + 2 y − 1 y 2 + 2 n y + n 2 + y 2 + 2 y − 1 2 y 2 + ( 2 n + 2 ) y + n 2 − 1 = = = = 0 0 0 0 Diperoleh a = 2 , b = 2 n + 2 dan c = n 2 − 1 , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut: D = = = = b 2 − 4 a c ( 2 n + 2 ) 2 − 4 ( 2 ) ( n 2 − 1 ) − 4 n 2 + 8 n + 12 n 2 − 2 n − 3 Syarat garis memotong lingkaran di satu titik adalah D = 0 maka nilai n dapat dihitung sebagai berikut: D n 2 − 2 n − 3 ( n − 3 ) ( n + 1 ) = = = 0 0 0 n − 3 n = = 0 3 atau n + 1 n = = 0 − 1 Dengan demikian, nilai n agar garis y = n dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 = 4 di satu titik adalah n = 2 atau n = − 2 dan nilai n agar garis y = x − n yang dapat memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 y − 1 = 0 di satu titik adalah n = 3 atau n = − 1 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai $n$ agar garis $y = n$ dapat memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ di satu titik adalah $n = - 2 atau n = 2$ dan nilai $n$ agar garis $y = x - n$ dapat memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ di satu titik adalah $n = 3 atau n = - 1$ .

Ingat!

Hubungan antara garis $g$ dan lingkaran $L$ dapat ditentukan dari nilai diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat yang diperoleh saat mesubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Rumus mencari nilai diskriminan adalah

$D = b^{2} - 4 a c$ .

Jika $D > 0$ , garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berbeda.
Jika $D = 0$ , garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ di satu titik.
Jika $D < 0$ , garis $g$ tidak memotong lingkaran $L$ .

a. Garis memotong di satu titik dengan syarat $D = 0$ maka nilai n dapat dihitung sebagai berikut.

Pertama akan dicari nilai n pada lingkaran dan garis $x^{2} + y^{2} = 4$ ; $y = n$ .

Substitusi garis $y = n$ ke dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ .

$x^{2} + y^{2} x^{2} + n^{2} - 4 = = 40$

Diperoleh $a = 1$ , $b = 0$ dan $c = n^{2} - 4$ , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut:

$D = = = b^{2} - 4 a c 0^{2} - 4 (1) (n^{2} - 4) - 4 n^{2} + 16$

Syarat garis memotong lingkaran di satu titik adalah $D = 0$ maka nilai $n$ dapat dihitung sebagai berikut:

$D - 4 n^{2} + 16 - 4 n^{2} n^{2} n n = = = = = = 00 - 16 44 \pm 2$

Kedua akan dicari nilai n pada lingkaran dan garis $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ ; $y = x - n$ .

Substitusi garis $y = x - n \Leftrightarrow x = y + n$ ke dalam lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 (y + n)^{2} + y^{2} + 2 y - 1 y^{2} + 2 n y + n^{2} + y^{2} + 2 y - 1 2 y^{2} + (2 n + 2) y + n^{2} - 1 = = = = 0000$

Diperoleh $a = 2$ , $b = 2 n + 2$ dan $c = n^{2} - 1$ , sehingga dapat dihitung nilai diskriminan sebagai berikut:

$D = = = = b^{2} - 4 a c (2 n + 2)^{2} - 4 (2) (n^{2} - 1) - 4 n^{2} + 8 n + 12 n^{2} - 2 n - 3$

Syarat garis memotong lingkaran di satu titik adalah $D = 0$ maka nilai $n$ dapat dihitung sebagai berikut:

$D n^{2} - 2 n - 3 (n - 3) (n + 1) = = = 000$

$n - 3 n = = 03$ atau $n + 1 n = = 0 - 1$

Dengan demikian, nilai $n$ agar garis $y = n$ dapat memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} = 4$ di satu titik adalah $n = 2 atau n = - 2$ dan nilai $n$ agar garis $y = x - n$ yang dapat memotong lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ di satu titik adalah $n = 3 atau n = - 1$ .