Pertanyaan

Tentukan nilai agar garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 169 di titik A ( 12 , − 5 ) juga menyinggung lingkaran L = ( x − 5 ) 2 + ( y − 12 ) 2 = p .

Tentukan nilai $p$ agar garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 169$ di titik $A (12, - 5)$ juga menyinggung lingkaran $L = (x - 5)^{2} + (y - 12)^{2} = p$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh nilai p = 169 .

diperoleh nilai

p = 169

Pembahasan

Misal: garis singgung di titik ( 12 , 5 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = 169 adalah y = r x + s . Ingat, kurva yang saling bersinggungan akan memiliki nilai y yang sama di x yang sama, maka: x 2 + y 2 y A ( 12 , 5 ) = = → 169.......... ( 1 ) r x + s ........ ( 2 ) s = − 5 − 12 r .... ( 3 ) Substitusi persamaan ( 2 ) ke ( 1 ) diperoleh: x 2 + y 2 x 2 + ( r x + s ) 2 x 2 + r 2 x 2 + 2 r x s + s 2 ( 1 + r 2 ) x 2 + 2 rs x + s 2 − 169 = = = = 169 169 169 0 Ingat, syarat kurva saling bersinggungan nilai diskriminannya ( D ) = 0 .Untuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = f ( x ) , nilai diskriminannya D = b 2 − 4 a c , maka: a x 2 + b x + c a b c = = = = ( 1 + r 2 ) x 2 + 2 rs x + s 2 − 169 ( 1 + r 2 ) 2 rs s 2 − 169 Selanjutnya diperoleh: D 0 0 0 0 = = = = = b 2 − 4 a c ( 2 rs ) 2 − 4 ( 1 + r 2 ) ( s 2 − 169 ) 4 r 2 s 2 − 4 s 2 + 676 − 4 r 2 s 2 + 676 r 2 − 4 s 2 + 676 + 676 r 2 s 2 − 169 − 169 r 2 ........ ( 4 ) Substitusi persamaan ( 3 ) ke ( 4 ) diperoleh: s 2 − 169 − 169 r 2 ( − 5 − 12 r ) 2 − 169 − 169 r 2 25 + 120 r + 144 r 2 − 169 − 169 r 2 − 25 r 2 + 120 r − 144 25 r 2 − 120 r + 144 ( 5 r − 12 ) 2 ( 5 r − 12 ) r = = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 5 12 Substitusi persamaan m ke ( 3 ) diperoleh: s = = = = − 5 − 12 r − 5 − 12 ⋅ 5 12 − 5 − 5 144 − 5 169 Garis singgungnya adalah: y 5 y y y ′ m = = = = = = r x + s 5 12 x − 5 169 12 x − 169 5 12 x − 5 169 5 12 5 12 Diperoleh,garis singgungnya dengan ( a , b ) = ( 5 , 12 ) , r = p , m = 5 12 adalah ( y − b ) ( y − 12 ) y − 12 y y = = = = = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 5 12 ( x − 5 ) ± p ( 5 12 ) 2 + 1 5 12 x − 12 ± p 25 144 + 1 5 12 x − 12 + 12 ± p 25 169 5 12 x ± 5 13 p Substitusi y = 5 12 x − 5 169 ke y = 5 12 x − 5 13 p 5 12 x − 5 169 = 5 12 x − 5 13 p Perhatikan koefisien x dan konstanta pada kedua ruas: − 5 169 5 169 ⋅ 13 5 13 p = = = = − 5 13 p p p 1 3 2 = 169 Dengan demikian, diperoleh nilai p = 169 .

Misal: garis singgung di titik $(12, 5)$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 169$ adalah $y = r x + s$ .

Ingat, kurva yang saling bersinggungan akan memiliki nilai $y$ yang sama di $x$ yang sama, maka:

$x^{2} + y^{2} y A (12, 5) = = \to 169.......... (1) r x + s ........ (2) s = - 5 - 12 r .... (3)$

Substitusi persamaan $(2)$ ke $(1)$ diperoleh:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (r x + s)^{2} x^{2} + r^{2} x^{2} + 2 r x s + s^{2} (1 + r^{2}) x^{2} + 2 rs x + s^{2} - 169 = = = = 1691691690$

Ingat, syarat kurva saling bersinggungan nilai diskriminannya $(D) = 0$ . Untuk persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = f (x)$ , nilai diskriminannya $D = b^{2} - 4 a c$ , maka:

$a x^{2} + b x + c a b c = = = = (1 + r^{2}) x^{2} + 2 rs x + s^{2} - 169 (1 + r^{2}) 2 rs s^{2} - 169$

Selanjutnya diperoleh:

$D 0000 = = = = = b^{2} - 4 a c (2 rs)^{2} - 4 (1 + r^{2}) (s^{2} - 169) 4 r^{2} s^{2} - 4 s^{2} + 676 - 4 r^{2} s^{2} + 676 r^{2} - 4 s^{2} + 676 + 676 r^{2} s^{2} - 169 - 169 r^{2} ........ (4)$

Substitusi persamaan $(3)$ ke $(4)$ diperoleh:

$s^{2} - 169 - 169 r^{2} (- 5 - 12 r)^{2} - 169 - 169 r^{2} 25 + 120 r + 144 r^{2} - 169 - 169 r^{2} - 25 r^{2} + 120 r - 144 25 r^{2} - 120 r + 144 (5 r - 12)^{2} (5 r - 12) r = = = = = = = = 0000000 \frac{12}{5}$

Substitusi persamaan $m$ ke $(3)$ diperoleh:

$s = = = = - 5 - 12 r - 5 - 12 \cdot \frac{12}{5} - 5 - \frac{144}{5} - \frac{169}{5}$

Garis singgungnya adalah:

$y 5 y y y^{'} m = = = = = = r x + s \frac{12}{5} x - \frac{169}{5} 12 x - 169 \frac{12}{5} x - \frac{169}{5} \frac{12}{5} \frac{12}{5}$

Diperoleh, garis singgungnya dengan $(a, b) = (5, 12), r = p, m = \frac{12}{5}$ adalah

$(y - b) (y - 12) y - 12 y y = = = = = m (x - a) \pm r m^{2} + 1 \frac{12}{5} (x - 5) \pm p (\frac{12}{5})^{2} + 1 \frac{12}{5} x - 12 \pm p \frac{144}{25} + 1 \frac{12}{5} x - 12 + 12 \pm p \frac{169}{25} \frac{12}{5} x \pm \frac{13}{5} p$

Substitusi $y = \frac{12}{5} x - \frac{169}{5}$ ke $y = \frac{12}{5} x - \frac{13}{5} p$

$\frac{12}{5} x - \frac{169}{5} = \frac{12}{5} x - \frac{13}{5} p$

Perhatikan koefisien $x$ dan konstanta pada kedua ruas:

$- \frac{169}{5} \frac{169}{5} \cdot \frac{5}{13} 13 p = = = = - \frac{13}{5} p p p 1 3^{2} = 169$

Dengan demikian, diperoleh nilai $p = 169$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Tunjukkan bahwa titik A ( − 4 , 3 ) terletak pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 25 dan tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 169 melalui titik potong lingkaran dengan garis l : 12 x − 5 y = 0 .

4.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik A ( 3 , 1 ) ke lingkaran: L ≡ x 2 + y 2 = 5 adalah . . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 8 di setiap titik berikut. b. ( − 2 , − 2 )

4.5

Jawaban terverifikasi

Garis x = 15 memotong x 2 + y 2 = 289 di titik Pdan Q. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran pada masing-masing titik tersebut.