Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dan kuadrat berikut ini e. { 3 x + 2 y + 3 = 0 x 2 + y 2 + 4 x y − 6 x + 2 y + 14 = 0 ​

Pembahasan

Diketahui 3 x + 2 y + 3 = 0 dan x 2 + y 2 + 4 x y − 6 x + 2 y + 14 = 0 . Persamaan linear 3 x + 2 y + 3 = 0 menjadi: 3 x + 2 y + 3 2 y y ​ = = = ​ 0 − 3 x − 3 2 − 3 x − 3 ​ ​ Selanjutnya y ​ = ​ 2 − 3 x − 3 ​ ​ disubstitusikan ke persamaan kuadrat x 2 + y 2 + 4 x y − 6 x + 2 y + 14 = 0 sebagai berikut. x 2 + y 2 + 4 x y − 6 x + 2 y + 14 x 2 + ( 2 − 3 x − 3 ​ ) 2 + 4 x ( 2 − 3 x − 3 ​ ) − 6 x + 2 ( 2 − 3 x − 3 ​ ) + 14 x 2 + ( 4 9 x 2 + 18 x + 9 ​ ) − 6 x 2 − 6 x − 6 x + ( − 3 x ) − 3 + 14 x 2 + ( 4 9 x 2 + 18 x + 9 ​ ) − 6 x 2 − 15 x + 11 ( x 2 + ( 4 9 x 2 + 18 x + 9 ​ ) − 6 x 2 − 15 x + 11 ) 4 4 x 2 + 9 x 2 + 18 x + 9 − 24 x 2 − 60 x + 44 − 11 x 2 − 42 x + 53 11 x 2 + 42 x − 53 ​ = = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ( 4 ) 0 0 0 ​ Akar-akar dari persamaan dicari dengan rumus A BC . x 1 , 2 ​ ​ = = = = = = = = ​ 2 a − b ± b 2 − 4 a c ​ ​ 2 ( 11 ) − ( 42 ) ± ( 42 ) 2 − 4 ( 11 ) ( − 53 ) ​ ​ 22 − 42 ± 1764 + 2332 ​ ​ 22 − 42 ± 4096 ​ ​ 22 − 42 ± 64 ​ 22 − 42 + 64 ​ atau 22 − 42 − 64 ​ 22 22 ​ atau 22 − 106 ​ 1 atau − 11 53 ​ ​ Selanjutnya substitusi x = 1 atau x = − 11 53 ​ ke salah satu persamaan yang diketahui pada soal. Untuk x = 1 3 x + 2 y + 3 3 ( 1 ) + 2 y + 3 3 + 2 y + 3 2 y + 6 2 y y ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 − 6 − 3 → ( 1 , − 3 ) ​ Untuk x = − 11 53 ​ 3 x + 2 y + 3 3 ( − 11 53 ​ ) + 2 y + 3 − 11 159 ​ + 2 y + 3 2 y 2 y 2 y y y ​ = = = = = = = = ​ 0 0 0 11 159 ​ − 3 11 159 − 33 ​ 11 126 ​ 22 126 ​ 11 63 ​ → ( − 11 53 ​ , 11 63 ​ ) ​ Dengan demikian himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan tersebut adalah { ( 1 , − 3 ) , ​ ​ ( − 11 53 ​ , 11 63 ​ ) ​ }