Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut! sin 5x=212, 0∘≤x≤360∘

Pertanyaan

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!

$\sin\;5x=\frac12\sqrt2,\;0^\circ\leq x\leq360^\circ\;$

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

$\style{font-size:12px}{\mathrm{HP}=\{9^\circ,\;27^\circ,\;81^\circ,\;99^\circ,\;153^\circ,\;171^\circ,\;225^\circ,\;242^\circ,\;297^\circ,\;315^\circ\}}$ .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\style{font-size:12px}{\mathbf{HP}\boldsymbol=\boldsymbol\{\mathbf9\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{27}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{81}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{99}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{153}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{171}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{225}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{242}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{297}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol,\boldsymbol\;\mathbf{315}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol\}}$ .

Ingat $\sin\;x=a$ diubah dahulu menjadi $\sin\;x=\sin\;\alpha$ .

Jika $\sin\;x=\sin\;\alpha$ , maka

$x=\alpha+k\cdot360^\circ$ atau
$x=(180^\circ-\alpha)+k\cdot360^\circ$

Diketahui $\sin\;5x=\frac12\sqrt2$ untuk $\;0^\circ\leq x\leq360^\circ$ , maka

$\sin\;5x=\frac12\sqrt2\\\sin\;5x=\sin\;45^\circ$

Berdasarkan rumus di atas, dapat ditentukan:

$\begin{array}{rcl}\mathbf5\boldsymbol x&\boldsymbol=&\mathbf{45}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol+\boldsymbol k\boldsymbol\cdot\mathbf{360}\boldsymbol\textdegree\\x&=&9^\circ+k\cdot72^\circ\end{array}$

untuk $k$ bilangan bulat, maka

$\begin{array}{rcl}k&=&0,\;x=9^\circ+0\cdot72^\circ=9^\circ\;(\mathrm{memenuhi})\\k&=&{1,\;x=9^\circ+1\cdot72^\circ=81^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{2,\;x=9^\circ+2\cdot72^\circ=153^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{3,\;x=9^\circ+3\cdot72^\circ=225^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{4,\;x=9^\circ+4\cdot72^\circ=297^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{5,\;x=9^\circ+5\cdot72^\circ=369^\circ\;(\mathrm{tidak}\;\mathrm{memenuhi})}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\mathbf5\boldsymbol x&\boldsymbol=&\boldsymbol(\mathbf{180}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol-\mathbf{45}\boldsymbol\textdegree\boldsymbol)\boldsymbol+\boldsymbol k\boldsymbol\cdot\mathbf{360}\boldsymbol\textdegree\\5x&=&135^\circ+k\cdot360^\circ\\x&=&27^\circ+k\cdot72^\circ\end{array}$

untuk $k$ bilangan bulat, maka

$\begin{array}{rcl}k&=&{0,\;x=27^\circ+0\cdot72^\circ=27^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{1,\;x=27^\circ+1\cdot72^\circ=99^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{2,\;x=27^\circ+2\cdot72^\circ=171^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{3,\;x=27^\circ+3\cdot72^\circ=243^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{4,\;x=27^\circ+4\cdot72^\circ=315^\circ\;(\mathrm{memenuhi})}\\k&=&{5,\;x=27^\circ+5\cdot72^\circ=387^\circ\;(\mathrm{tidak}\;\mathrm{memenuhi})}\end{array}$

Dengan demikian, $\style{font-size:12px}{\mathrm{HP}=\{9^\circ,\;27^\circ,\;81^\circ,\;99^\circ,\;153^\circ,\;171^\circ,\;225^\circ,\;242^\circ,\;297^\circ,\;315^\circ\}}$ .