Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk n agar pernyataan berikut menjadi benar. 3⋅3n≥n4

Pertanyaan

Tentukan himpunan bilangan asli untuk begin mathsize 14px style n end style agar pernyataan berikut menjadi benar.

begin mathsize 14px style 3 times 3 to the power of n greater or equal than n to the power of 4 end style 

  1. ...undefined 

  2. ...undefined 

Terakhir diupdate 05 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. b. n≤2n−1

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunkan induksi matematika dimana

n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight n less or equal than cell 2 to the power of straight n minus 1 end exponent end cell row 1 less or equal than cell 2 to the power of 1 minus 1 end exponent end cell row 1 less or equal than cell 2 to the power of 0 end cell row 1 less or equal than cell 1 rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight n less or equal than cell 2 to the power of straight n minus 1 end exponent end cell row straight k less or equal than cell 2 to the power of straight k minus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table

akan dibuktikan n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight n less or equal than cell 2 to the power of straight n minus 1 end exponent end cell row cell straight k plus 1 end cell less or equal than cell 2 to the power of straight k minus 1 end exponent plus 1 end cell row cell 2 to the power of straight k minus 1 end exponent plus straight k plus 1 end cell less or equal than cell 2 to the power of straight k minus 1 plus 1 end exponent end cell row cell 2 to the power of straight k minus 1 end exponent plus 2 to the power of straight k.2 to the power of 1 end cell less or equal than cell 2 to the power of straight k end cell row cell 2 to the power of straight k minus 1 end exponent plus 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell less or equal than cell 2 to the power of straight k rightwards arrow terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight n less or equal than 2 to the power of straight n minus 1 end exponent karena hasil sisi kanan dan kiri sama

 

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! xn​>2  untuk setiap bilangan asli n, dengan xn+1​=1+xn​−1​ dan x1​=4. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

undefined  

untuk setiap bilangan asli n.
 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 comma end style maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon x subscript n greater than 2 end style  

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon x subscript 1 greater than 2 end style  

Karena begin mathsize 14px style x subscript 1 equals 4 greater than 2 end style, maka begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli bold italic k, jika bold P subscript bold italic k bernilai benar mengakibatkan bold P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined 

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon x subscript k greater than 2 end style  

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon x subscript k plus 1 end subscript greater than 2 end style  

Perhatikan bahwa karena begin mathsize 14px style x subscript k greater than 2 end style, maka 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell size 14px x subscript size 14px k size 14px plus size 14px 1 end subscript end cell size 14px equals cell size 14px 1 size 14px plus square root of size 14px x subscript size 14px k size 14px minus size 14px 1 end root end cell row cell x subscript k plus 1 end subscript end cell size 14px greater than cell size 14px 1 size 14px plus square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 1 end root end cell row cell x subscript k plus 1 end subscript end cell size 14px greater than cell size 14px 1 size 14px plus square root of size 14px 1 end cell row cell x subscript k plus 1 end subscript end cell size 14px greater than cell size 14px 1 size 14px plus size 14px 1 end cell row cell x subscript k plus 1 end subscript end cell size 14px greater than size 14px 2 end table 

Diperoleh begin mathsize 14px style x subscript k plus 1 end subscript greater than 2 end style.   

Oleh karena itu, straight P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

 

Karena

1. P1 benar dan

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika straight P subscript k benar mengakibatkan straight P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar,

maka straight P subscript n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

1

Roboguru

Let f(n)=(n−4)2+2. For which n∈N is f(n)>f(n−1) true?

Pembahasan Soal:

Subsitusi nilai straight f open parentheses straight n close parentheses equals open parentheses straight n minus 4 close parentheses squared plus 2 ke  straight f open parentheses straight n close parentheses greater than straight f open parentheses straight n minus 1 close parentheses maka di dapat

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f open parentheses straight n close parentheses end cell greater than cell straight f open parentheses straight n minus 1 close parentheses end cell row cell open parentheses straight n minus 4 close parentheses squared plus 2 end cell greater than cell open parentheses open parentheses straight n minus 4 close parentheses squared plus 2 right parenthesis minus 1 close parentheses end cell row cell straight n squared minus 8 straight n plus 18 end cell greater than cell straight n squared minus 8 straight n plus 17 rightwards arrow terbukti space end cell end table

Dapat dibuktikan dengan memisalkan n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f open parentheses straight n close parentheses end cell greater than cell straight f open parentheses straight n minus 1 close parentheses end cell row cell open parentheses straight n minus 4 close parentheses squared plus 2 end cell greater than cell open parentheses open parentheses straight n minus 4 close parentheses squared plus 2 right parenthesis minus 1 close parentheses end cell row cell 1 squared minus 8.1 plus 18 end cell greater than cell 1 squared minus 8.1 plus 17 end cell row 11 greater than cell 10 rightwards arrow terbukti space end cell end table

Jadi benar bahwa table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f open parentheses straight n close parentheses end cell greater than cell straight f open parentheses straight n minus 1 close parentheses end cell end table

0

Roboguru

Show that n2(n−1)>2n+1 for all natural number n≥3.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

32(31)9(2)18>>>2(3)+177  

Benar untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

k2(k1)>2k+1   

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan

(k+1)2((k+1)1)>2(k+1)+1 

Maka:

k2(k1)k3k2k3k2k3k2+(3k2+k)k3+2k2+kk(k+2k+1)k(k+1)2(k+1)2k(k+1)2((k+1)1)>>>>>>>>>2k+12k12k12k1+(3k2+k)2k2+3k12k2+3k1+(2k2k+4)(dengann3)2k+32k+2+12(k+1)+1     

Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli n3 berlaku n2(n1)>2n+1.

0

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:  Pn​≡2n+1≤3n

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan induksi matematika dimana untuk

n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2.1 plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of 1 end cell row 3 less or equal than cell 3 rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2. straight k plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k end cell row cell 2 straight k plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n= k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 straight k plus 2 plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 straight k plus 3 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight P subscript straight n identical to 2 straight n plus 1 less or equal than 3 to the power of straight n karena hasil table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight k plus 3 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table

 

 

 

2

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved