Pertanyaan

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

If $n$ is a positive integer and $n < t < n + 1$ , show that $\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{t}$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

R. Subakti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Indonesia

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . 3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. Jika adalah bilangan bulat positifdan , buktikan . Pembuktiannya sebagai berikut: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. n < t < n + 1 1 < t < 1 + 1 1 < t < 2 lalu n + 1 1 1 + 1 1 2 1 < < < t 1 t 1 t 1 ( untuk 1 < t < 2 bernilai benar ) maka pernyataan benar untuk n = 1. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . Untuk k bilangan bulat positif dan ,maka berlaku . Pernyataan tersebutkita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga. 3.Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. Untuk bilangan bulat positif dan , maka berlaku . Perhatikan penjabaran berikut. Karena k bilangan bulat positif, maka . Akibatnya, ( k + 1 ) + 1 1 < k + 1 1 karena ( k + 1 1 < t 1 ) ( k + 1 ) + 1 1 < t 1 Jadi, terbuktibenar untuk n + 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa untuk n bilangan bulat positif dan n < t < n + 1 maka berlaku .

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

Jika adalah bilangan bulat positif dan , buktikan $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction less than 1 over t end style$ .

Pembuktiannya sebagai berikut:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

$n < t < n + 1 1 < t < 1 + 1 1 < t < 2$

lalu

$\frac{1}{n + 1} \frac{1}{1 + 1} \frac{1}{2} < < < \frac{1}{t} \frac{1}{t} \frac{1}{t} (untuk 1 < t < 2 bernilai benar)$

maka pernyataan benar untuk n = 1.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

Untuk k bilangan bulat positif dan k less than t less than k plus 1 , maka berlaku $fraction numerator 1 over denominator k plus 1 end fraction less than 1 over t$ .

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk k plus 1 bilangan bulat positif dan left parenthesis k plus 1 right parenthesis less than t less than left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 , maka berlaku $fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end fraction less than 1 over t$ .

Perhatikan penjabaran berikut.

Karena k bilangan bulat positif, maka k plus 1 less than left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 .

Akibatnya,

$\frac{1}{( k + 1 ) + 1} < \frac{1}{k + 1} karena (\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{t}) \frac{1}{( k + 1 ) + 1} < \frac{1}{t}$

Jadi, terbukti benar untuk n + 1.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa untuk n bilangan bulat positif dan $n < t < n + 1$ maka berlaku $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction less than 1 over t end style$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. a. 2 n ≥ 2 n

0.0

Jawaban terverifikasi

Use mathematical induction to prove: a. 3 n > 2 n for all natural number n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk bilangan-bilangan bulat positif n , diketahui pernyataan-pernyataan berikut. 1) 3 n < n ! untuk n > 4 2) 2 n < n 2 untuk Pernyataan yang bernilai benar berdasarkan prinsip indu...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

2.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 3 n > 2 n untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS