Pertanyaan

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

If $n$ is a positive integer and $n < t < n + 1$ , show that $\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{t}$ .

R. Subakti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Indonesia

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . 3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. Jika adalah bilangan bulat positifdan , buktikan . Pembuktiannya sebagai berikut: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. n < t < n + 1 1 < t < 1 + 1 1 < t < 2 lalu n + 1 1 1 + 1 1 2 1 < < < t 1 t 1 t 1 ( untuk 1 < t < 2 bernilai benar ) maka pernyataan benar untuk n = 1. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . Untuk k bilangan bulat positif dan ,maka berlaku . Pernyataan tersebutkita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga. 3.Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. Untuk bilangan bulat positif dan , maka berlaku . Perhatikan penjabaran berikut. Karena k bilangan bulat positif, maka . Akibatnya, ( k + 1 ) + 1 1 < k + 1 1 karena ( k + 1 1 < t 1 ) ( k + 1 ) + 1 1 < t 1 Jadi, terbuktibenar untuk n + 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa untuk n bilangan bulat positif dan n < t < n + 1 maka berlaku .

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

Jika adalah bilangan bulat positif dan , buktikan $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction less than 1 over t end style$ .

Pembuktiannya sebagai berikut:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

$n < t < n + 1 1 < t < 1 + 1 1 < t < 2$

lalu

$\frac{1}{n + 1} \frac{1}{1 + 1} \frac{1}{2} < < < \frac{1}{t} \frac{1}{t} \frac{1}{t} (untuk 1 < t < 2 bernilai benar)$

maka pernyataan benar untuk n = 1.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

Untuk k bilangan bulat positif dan k less than t less than k plus 1 , maka berlaku $fraction numerator 1 over denominator k plus 1 end fraction less than 1 over t$ .

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk k plus 1 bilangan bulat positif dan left parenthesis k plus 1 right parenthesis less than t less than left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 , maka berlaku $fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end fraction less than 1 over t$ .

Perhatikan penjabaran berikut.

Karena k bilangan bulat positif, maka k plus 1 less than left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 .

Akibatnya,

$\frac{1}{( k + 1 ) + 1} < \frac{1}{k + 1} karena (\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{t}) \frac{1}{( k + 1 ) + 1} < \frac{1}{t}$

Jadi, terbukti benar untuk n + 1.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa untuk n bilangan bulat positif dan $n < t < n + 1$ maka berlaku $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction less than 1 over t end style$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Pernyataan P n : 2 n + 3 < 2 n selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

176

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan diketahui barisan bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ..., dengan a 1 = 2 , a 2 = 5 , a 3 = 8 , dan a n = a n − 1 + a n − 2 + a n − 3 . Buktikan bahwa a n ≤ 2 n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. b. n ≤ 2 n − 1

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk bilangan-bilangan bulat positif n , diketahui pernyataan-pernyataan berikut. 1) 3 n < n ! untuk n > 4 2) 2 n < n 2 untuk Pernyataan yang bernilai benar berdasarkan prinsip indu...

0.0

Jawaban terverifikasi