Pertanyaan

Tanpa menggunakan tabel trigonometri maupun kalkulator hitinglah setiap bentuk berikut! sin 2 6 ∘ + sin 2 4 2 ∘ + sin 2 66 + sin 2 7 8 ∘

Tanpa menggunakan tabel trigonometri maupun kalkulator hitinglah setiap bentuk berikut!

$sin^{2} 6^{\circ} + sin^{2} 4 2^{\circ} + sin^{2} 66 + sin^{2} 7 8^{\circ}$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari sin 2 6 ∘ + sin 2 4 2 ∘ + sin 2 66 + sin 2 7 8 ∘ adalah 2 4 1

nilai dari

sin^{2} 6^{\circ} + sin^{2} 4 2^{\circ} + sin^{2} 66 + sin^{2} 7 8^{\circ}

adalah

2 \frac{1}{4}

Pembahasan

Ingat bahwa : Sudut berelasi cos α = − cos ( 18 0 ∘ − α ) cos x = sin ( 90 − x ) Sudut rangkap pada sinus sin 2 A = 2 sin A cos A Sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 2 sin 2 A sin 2 A = = = 1 − 2 sin 2 A 1 − cos 2 A 2 1 − c o s 2 A Rumus jumlah dan selisih Trigonometri cos A − cos B sin A − sin B = = − 2 sin ( 2 A + B ) sin ( 2 A − B ) 2 cos ( 2 A + B ) sin ( 2 A − B ) Sehingga sin 2 6 ∘ + sin 2 4 2 ∘ + sin 2 66 + sin 2 7 8 ∘ = 2 1 − cos 1 2 ∘ + 2 1 − cos 8 4 ∘ + 2 1 − cos 13 2 ∘ + 2 1 − cos 15 6 ∘ = 2 1 − 2 1 cos 1 2 ∘ + 2 1 − 2 1 cos 8 4 ∘ + 2 1 − 2 1 cos 13 2 ∘ + 2 1 − 2 1 cos 15 6 ∘ = 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 − 2 1 cos 1 2 ∘ − 2 1 cos 8 4 ∘ − 2 1 cos 13 2 ∘ − 2 1 cos 15 6 ∘ = 2 − 2 1 cos 1 2 ∘ − 2 1 cos 8 4 ∘ − 2 1 cos 13 2 ∘ − 2 1 cos 15 6 ∘ = 2 − 2 1 cos 1 2 ∘ − 2 1 cos 8 4 ∘ + 2 1 cos 4 8 ∘ + 2 1 cos 2 4 ∘ = 2 + 2 1 cos 4 8 ∘ − 2 1 cos 1 2 ∘ + 2 1 cos 2 4 ∘ − 2 1 cos 8 4 ∘ = 2 + 2 1 ( cos 4 8 ∘ − cos 1 2 ∘ ) + 2 1 ( cos 2 4 ∘ − cos 8 4 ∘ ) = 2 + 2 1 ( − 2 sin 3 0 ∘ sin 1 8 ∘ ) + 2 1 ( − 2 sin 5 4 ∘ sin ( − 3 0 ∘ ) ) = 2 + 2 1 ( − 2 ( 2 1 ) sin 1 8 ∘ ) + 2 1 ( − 2 sin 5 4 ∘ ( − 2 1 ) ) = 2 − 2 1 sin 1 8 ∘ + 2 1 sin 5 4 ∘ = 2 + 2 1 ( sin 5 4 ∘ − sin 1 8 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 cos 3 6 ∘ sin 1 8 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 cos 3 6 ∘ sin 1 8 ∘ × 2 cos 1 8 ∘ 2 cos 1 8 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 cos 1 8 ∘ 2 cos 3 6 ∘ sin 1 8 ∘ 2 cos 1 8 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 cos 1 8 ∘ 2 cos 3 6 ∘ sin 3 6 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 sin 7 2 ∘ sin 7 2 ∘ ) = 2 + 2 1 ( 2 1 ) = 2 + 4 1 = 2 4 1 Dengan demikian nilai dari sin 2 6 ∘ + sin 2 4 2 ∘ + sin 2 66 + sin 2 7 8 ∘ adalah 2 4 1

Ingat bahwa :

Sudut berelasi

$cos α = - cos (18 0^{\circ} - α) cos x = sin (90 - x)$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A = 2 sin A cos A$

Sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A 2 sin^{2} A sin^{2} A = = = 1 - 2 sin^{2} A 1 - cos 2 A \frac{1 - c o s 2 A}{2}$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

$cos A - cos B sin A - sin B = = - 2 sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{A - B}{2}) 2 cos (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{A - B}{2})$

Sehingga

$sin^{2} 6^{\circ} + sin^{2} 4 2^{\circ} + sin^{2} 66 + sin^{2} 7 8^{\circ} = \frac{1 - cos 1 2 ^{\circ}}{2} + \frac{1 - cos 8 4 ^{\circ}}{2} + \frac{1 - cos 13 2 ^{\circ}}{2} + \frac{1 - cos 15 6 ^{\circ}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 1 2^{\circ} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 8 4^{\circ} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 13 2^{\circ} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 15 6^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 1 2^{\circ} - \frac{1}{2} cos 8 4^{\circ} - \frac{1}{2} cos 13 2^{\circ} - \frac{1}{2} cos 15 6^{\circ} = 2 - \frac{1}{2} cos 1 2^{\circ} - \frac{1}{2} cos 8 4^{\circ} - \frac{1}{2} cos 13 2^{\circ} - \frac{1}{2} cos 15 6^{\circ} = 2 - \frac{1}{2} cos 1 2^{\circ} - \frac{1}{2} cos 8 4^{\circ} + \frac{1}{2} cos 4 8^{\circ} + \frac{1}{2} cos 2 4^{\circ} = 2 + \frac{1}{2} cos 4 8^{\circ} - \frac{1}{2} cos 1 2^{\circ} + \frac{1}{2} cos 2 4^{\circ} - \frac{1}{2} cos 8 4^{\circ} = 2 + \frac{1}{2} (cos 4 8^{\circ} - cos 1 2^{\circ}) + \frac{1}{2} (cos 2 4^{\circ} - cos 8 4^{\circ}) = 2 + \frac{1}{2} (- 2 sin 3 0^{\circ} sin 1 8^{\circ}) + \frac{1}{2} (- 2 sin 5 4^{\circ} sin (- 3 0^{\circ})) = 2 + \frac{1}{2} (- 2 (\frac{1}{2}) sin 1 8^{\circ}) + \frac{1}{2} (- 2 sin 5 4^{\circ} (- \frac{1}{2})) = 2 - \frac{1}{2} sin 1 8^{\circ} + \frac{1}{2} sin 5 4^{\circ} = 2 + \frac{1}{2} (sin 5 4^{\circ} - sin 1 8^{\circ}) = 2 + \frac{1}{2} (2 cos 3 6^{\circ} sin 1 8^{\circ}) = 2 + \frac{1}{2} (2 cos 3 6^{\circ} sin 1 8^{\circ} \times \frac{2 cos 1 8 ^{\circ}}{2 cos 1 8 ^{\circ}}) = 2 + \frac{1}{2} (\frac{2 cos 3 6 ^{\circ} sin 1 8 ^{\circ} 2 cos 1 8 ^{\circ}}{2 cos 1 8 ^{\circ}}) = 2 + \frac{1}{2} (\frac{2 cos 3 6 ^{\circ} sin 3 6 ^{\circ}}{2 cos 1 8 ^{\circ}}) = 2 + \frac{1}{2} (\frac{sin 7 2 ^{\circ}}{2 sin 7 2 ^{\circ}}) = 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4}$