Iklan

Iklan

Pertanyaan

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ​ = 8 sin ( 2 A ​ ) sin ( 2 B ​ ) sin ( 2 C ​ )

Buktikan setiap identitas berikut.

Iklan

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Iklan

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dua sudutyaitu S in ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Rumus jumlah dan selisih Trigonometri sin A + sin B cos A + cos B ​ = = ​ 2 cos 2 1 ​ ( A + B ) cos 2 1 ​ ( A − B ) 2 cos 2 1 ​ ( A + B ) cos 2 1 ​ ( A − B ) ​ Sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A ​ = = ​ 2 sin A cos A 2 sin 2 1 ​ A cos 2 1 ​ A ​ Sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 1 − cos 2 A ​ = = ​ 1 − 2 sin 2 A 2 sin 2 A ​ Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C C cos 2 C ​ sin 2 C sin 2 C sin C ​ = = = = = = = = = = = ​ 18 0 ∘ 18 0 ∘ − ( A + B ) cos ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ​ ) cos ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ​ ) sin ( 2 A + B ​ ) sin 2 ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 36 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) − sin 2 ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ​ ) sin ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ​ ) cos ( 2 A + B ​ ) ​ Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari S in 2 A + sin 2 B + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ​ = = = = = = = = = = = ​ sin 2 A + sin 2 B − sin 2 ( A + B ) sin 2 A + sin 2 B − sin ( 2 A + 2 B ) sin 2 A + sin 2 B − ( sin 2 A cos 2 B + cos 2 A sin 2 B ) sin 2 A − sin 2 A cos 2 B + sin 2 B − cos 2 A sin 2 B sin 2 A ( 1 − cos 2 B ) + sin 2 B ( 1 − cos 2 A ) 2 sin A cos A ⋅ 2 sin 2 B + 2 sin B cos B ⋅ 2 sin 2 A 4 sin A sin B [ cos A sin B + cos B sin A ] 4 sin A sin B [ sin A cos B + cos A sin B ] 4 sin A sin B [ sin ( A + B ) ] 4 sin A sin B sin ( 18 0 ∘ − C ) 4 sin A sin B sin C ​ Kemudian akan dicari hasil dari sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin C ​ = = = = = = = ​ ( sin A + sin B ) + sin C 2 sin ( 2 A + B ​ ) cos ( 2 A − B ​ ) + 2 sin 2 C ​ cos 2 C ​ 2 cos 2 C ​ ( cos ( 2 A − B ​ ) + sin 2 C ​ ) 2 cos 2 C ​ ( cos ( 2 A − B ​ ) + cos ( 2 A + B ​ ) ) 2 cos 2 C ​ ( 2 cos 2 1 ​ ( 2 A − B + A + B ​ ) cos 2 1 ​ ( 2 A − B − A − B ​ ) ) 2 cos 2 C ​ ( 2 cos ( 4 2 A ​ ) cos ( 4 − 2 B ​ ) ) 4 cos 2 A ​ cos 2 B ​ cos 2 C ​ ​ Maka s i n A + s i n B + s i n C s i n 2 A + s i n 2 B + s i n 2 C ​ ​ = = = ​ 4 c o s 2 A ​ c o s 2 B ​ c o s 2 C ​ 4 s i n A s i n B s i n + 4 m u C ​ 4 c o s 2 A ​ c o s 2 B ​ c o s 2 C ​ ​ 4 ​ ⋅ 2 s i n 2 A ​ c o s 2 A ​ ​ ⋅ 2 s i n 2 B ​ c o s 2 B ​ ​ ⋅ 2 s i n 2 C ​ c o s 2 C ​ ​ ​ 8 sin ( 2 A ​ ) sin ( 2 B ​ ) sin ( 2 C ​ ) ( terbukti ) ​ Dengan demikian terbuktibahwa sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ​ = 8 sin ( 2 A ​ ) sin ( 2 B ​ ) sin ( 2 C ​ )

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

Sudut berelasi

Sudut rangkap pada sinus 

Sudut rangkap pada cosinus

Pada segitiga ABC, maka berlaku

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari 

Kemudian akan dicari hasil dari 

Maka

 

Dengan demikian terbukti bahwa 

 

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ ​ = tan ( 2 B ​ ) tan ( 2 C ​ )

4

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia