Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C​=8sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pertanyaan

Buktikan setiap identitas berikut.

fraction numerator sin space 2 A plus sin space 2 B plus sin space 2 C over denominator sin space A plus sin space B plus sin space C end fraction equals 8 space sin space open parentheses A over 2 close parentheses sin space open parentheses B over 2 close parentheses sin space open parentheses C over 2 close parentheses

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

S i n space open parentheses A plus B close parentheses equals sin space A space cos space B plus cos space A space sin space B

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space A plus sin space B end cell equals cell 2 space cos 1 half open parentheses A plus B close parentheses cos 1 half open parentheses A minus B close parentheses end cell row cell cos space A plus cos space B end cell equals cell 2 space cos space 1 half open parentheses A plus B close parentheses cos 1 half open parentheses A minus B close parentheses end cell end table

Sudut berelasi

sin space open parentheses 90 degree minus alpha close parentheses equals cos space alpha

sin space open parentheses 180 degree minus alpha close parentheses equals sin space alpha

sin open parentheses 360 degree minus alpha close parentheses equals negative sin space alpha

cos space open parentheses negative alpha close parentheses equals cos space alpha

Sudut rangkap pada sinus 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 A end cell equals cell 2 space sin space A space cos space A end cell row cell sin space A end cell equals cell 2 space sin 1 half A space cos space 1 half A end cell end table

Sudut rangkap pada cosinus

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space 2 A end cell equals cell 1 minus 2 space sin squared A end cell row cell 1 minus cos space 2 A end cell equals cell 2 space sin squared space A end cell end table

Pada segitiga ABC, maka berlaku

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell A plus B plus C end cell equals cell 180 degree end cell row C equals cell 180 degree minus open parentheses A plus B close parentheses end cell row cell cos space C over 2 end cell equals cell cos space open parentheses fraction numerator 180 degree minus open parentheses A plus B close parentheses over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell cos open parentheses 90 degree minus fraction numerator open parentheses A plus B close parentheses over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row cell sin space 2 C end cell equals cell sin space 2 open parentheses 180 degree minus open parentheses A plus B close parentheses close parentheses end cell row cell sin space 2 C end cell equals cell sin space open parentheses 360 degree minus 2 open parentheses A plus B close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell negative sin space 2 open parentheses A plus B close parentheses end cell row cell sin space C end cell equals cell sin space open parentheses fraction numerator 180 degree minus open parentheses A plus B close parentheses over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell sin space open parentheses 90 degree minus fraction numerator open parentheses A plus B close parentheses over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell cos space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses end cell end table

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari S i n space 2 A plus sin space 2 B plus sin space 2 C

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 A plus sin space 2 B plus sin space 2 C end cell equals cell sin space 2 A plus sin space 2 B minus sin 2 open parentheses A plus B close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 A plus sin space 2 B minus sin open parentheses 2 A plus 2 B close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 A plus sin space 2 B minus open parentheses sin space 2 A space cos space 2 B plus cos space 2 A space sin space 2 B close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 A minus sin space 2 A space cos space 2 B plus sin space 2 B minus cos space 2 A space sin space 2 B end cell row blank equals cell sin space 2 A open parentheses 1 minus cos space 2 B close parentheses plus sin space 2 B open parentheses 1 minus cos space 2 A close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space A space cos space A times 2 space sin squared B plus 2 space sin space B space cos space B times 2 space sin squared space A end cell row blank equals cell 4 space sin space A space sin space B open square brackets cos space A space sin space B plus cos space B space sin space A close square brackets end cell row blank equals cell 4 space sin space A space sin B open square brackets sin space A space cos space B plus cos space A space sin space B close square brackets end cell row blank equals cell 4 space sin space A space sin B open square brackets sin open parentheses A plus B close parentheses close square brackets end cell row blank equals cell 4 space sin space A space sin B space sin open parentheses 180 degree minus C close parentheses end cell row blank equals cell 4 space sin space A space sin space B space sin space C end cell end table

Kemudian akan dicari hasil dari sin space A plus sin space B plus sin space C

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space A plus sin space B plus sin space C end cell equals cell open parentheses sin space A plus sin space B close parentheses plus sin space C end cell row blank equals cell 2 space sin open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus 2 space sin C over 2 space cos space C over 2 end cell row blank equals cell 2 space cos space C over 2 open parentheses cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus space sin space C over 2 close parentheses end cell row blank equals cell 2 space cos space C over 2 open parentheses cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus cos open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses space close parentheses end cell row blank equals cell 2 space cos space C over 2 open parentheses 2 space cos space 1 half open parentheses fraction numerator A minus B plus A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses cos space 1 half open parentheses fraction numerator A minus B minus A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell 2 space cos space C over 2 open parentheses 2 space cos space open parentheses fraction numerator 2 A over denominator 4 end fraction close parentheses space cos space open parentheses fraction numerator negative 2 B over denominator 4 end fraction close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell 4 space cos space A over 2 cos space B over 2 space cos C over 2 end cell end table

Maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator sin space 2 A plus sin space 2 B plus sin space 2 C over denominator sin space A plus sin space B plus sin space C end fraction end cell equals cell fraction numerator 4 space sin space A space sin space B space sin thin space C over denominator 4 space cos space begin display style A over 2 end style cos begin display style B over 2 end style cos space begin display style C over 2 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator up diagonal strike 4 times 2 space sin space begin display style A over 2 end style up diagonal strike cos A over 2 end strike times 2 space sin space B over 2 up diagonal strike cos B over 2 end strike times 2 space sin space C over 2 up diagonal strike cos C over 2 end strike over denominator up diagonal strike 4 space end strike up diagonal strike cos space A over 2 cos B over 2 cos space C over 2 end strike end fraction end cell row blank equals cell 8 space sin space open parentheses A over 2 close parentheses sin space open parentheses B over 2 close parentheses sin space open parentheses C over 2 close parentheses space open parentheses terbukti close parentheses end cell end table 

Dengan demikian terbukti bahwa fraction numerator sin space 2 A plus sin space 2 B plus sin space 2 C over denominator sin space A plus sin space B plus sin space C end fraction equals 8 space sin space open parentheses A over 2 close parentheses sin space open parentheses B over 2 close parentheses sin space open parentheses C over 2 close parentheses

 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Roy

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 16 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cosθ(sinB+sinC)=sinABuktikan bahwa   tan22θ​=tan(2B​)tan(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Sudut berelasi

sin(90α)sin(180α)sin(α)cos(α)====cosαsinαsinαcosα

Identitas trigonometri

tanA=cosAsinA

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Rumus sudut setenga pada tangen

tan22α=1+sinα1cosα

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsin2Csin(2A+B)=========180180C180(A+B)sin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)sin(2180C)sin(90C)cos2C

Dari soal diketahui

cosθ(sinB+sinC)cosθ==sinAsinB+sinCsinA

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari sinA+sinB+sinC

=======sinA+sinB+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+sinC2cos2Ccos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C[cos(2AB)+sin2C]2cos2C[cos(2AB)+cos(2A+B)]2cos2C[2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB)]2cos2C[2cos(42A)cos(42B)]4cos2Acos2Bcos2C

Dengan cara yang sama diperoleh

sinB+sinCsinA=4cos2Asin2Bsin2C

Maka

tan22θ======1+sinθ1cosθ1+sinB+sinA1sinB+sinCsinAsinB+sinCsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinB+sinCsinAsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinA4cos2Acos2Bcos2C4cos2Asin2Bsin2Ctan(2B)tan(2C)(terbukti)

Dengan demikian terbukti bahwa tan22θ=tan(2B)tan(2C)

 

0

Roboguru

Jika A+B+C=π, tunjukkan bahwa   (sinA+sinB+sinC)(−sinA+sinB+sinC)(sinA−sinB+sinC)(sinA+sinB−sinC)=4sin2Asin2Bsin2C

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi berikut

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsinCsinCsin(2A+B)sin(2C)===========180180C180(A+B)sin(180(A+B))sin(A+B)sin(2180C)sin(902C)cos2Csin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)

Sebelumnya akan dicari nilai dari SinA+sinB+sinC

========sinA+sinB+sinC(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2Ccos(2AB)+2cos(2A+B)cos2C2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos2Acos(2B))2cos2C(2cos2Acos2B)4cos2Acos2Bcos2C

Dengan cara yang sama maka diperoleh: 

 sinA+sinBsinC=4cos2Csin2Asin2BsinA+sinCsinB=4cos2Bsin2Asin2CsinB+sinCsinA=4cos24sin2Bsin2C

Sehingga

===(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC)(sinAsinB+sinC)(sinA+sinBsinC)(4cos2Acos2Bcos2C)(4cos2Asin2Bsin2C)(4cos2Bsin2Asin2C)(4cos2Csin2Asin2B)4(2sin2Acos2A)2(2sin2Bcos2B)2(2sin2Ccos2C)24sin2Asin2Bsin2C(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa (sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC)(sinAsinB+sinC)(sinA+sinBsinC)=4sin2Asin2Bsin2C

 

0

Roboguru

Jika A+B+C=π, buktikan bahwa: a. sinA+sinB+sinC=4cos2A​⋅cos2B​⋅cos2C​

Pembahasan Soal:

Ingat kembali rumus:

1.sin(90x)=cosx2.sin(180x)=sinx3.sin2x=2sinxcosxsinx=2sin2xcos2x4.cos2x1+cos2x==2cos2x12cos2x15.sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB  

Dari soal diketahui:

A+B+CA+BC===ππCπ(A+B)

Sehingga,

sinC==sin(πsin(A+B))sin(A+B)

Maka diperoleh perhitungan:

sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinAcosB+sinB+cosAsinB=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=(2sin2Acos2A)(2cos22B)+(2sin2Bcos2B)(2cos22A)=4sin2Acos2Acos22B+4sin2Bcos2Bcos22A=4cos2Acos2B(sin2Acos2B+sin2Bcos2A)=4cos2Acos2Bsin(2A+2B)=4cos2Acos2Bsin(2A+2B)=4cos2Acos2Bsin21(A+B)=4cos2Acos2Bsin21(πC)=4cos2Acos2Bsin(902C)=4cos2Acos2Bcos2Cterbukti

Jadi, terbukti bahwa, sinA+sinB+sinC=4cos2Acos2Bcos2C .

1

Roboguru

Jika A+B+C=π, tunjukkan bahwa   cos(2A​)+cos(2B​)+cos(2C​)=4cos(4π+A​)cos(4π+B​)cos(4π−C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah Trigonometri yaitu

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut relasi di kuadran I pada sinus dan cosinus

sin(90α)cos(a)==cosαcosα

Nilai cos di kuadran II dan kuadran III adalah sama

cos(πA)=cos(π+A)

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCcos2C======ππC180(A+B)cos21(180(A+B))cos(2π2(A+B))sin(2A+B)

Sehingga 

cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=(cos(2A)+cos(2B))+cos(2C)=(2cos21(2A+2B)cos21(2A2B))+sin(2A+B)=(2cos(4A+B)cos(4AB))+2sin(4A+B)cos(4A+B)=2cos(4A+B)[cos(4AB)+sin(4A+B)]=2cos(4πC)[cos(4AB)+cos(2π4A+B)]=2cos(4πC)[cos(4AB)+cos(42π4(A+B))]=2cos(4πC)[2cos21(4AB+4(2πAB))cos21(4AB4(2πAB))]=2cos(4πC)[2cos21(42π2B)cos21(42A2π)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4Aπ)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4πA)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4πA)]=4cos(4π+A)cos(4π+B)cos(4πC)(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=4cos(4π+A)cos(4π+B)cos(4πC)

 

0

Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB−sinCsinA+sinB+sinC​=cotan(2A​)cotan(2B​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus identitas trigonometri 

cotanα=sinαcosα

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi 

sin(90α)sin(a)cos(a)===cosαsinacosa

sin(180α)=sinα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsinCsinCsin(2A+B)sin(2C)===========180180C180(A+B)sin(180(A+B))sin(A+B)sin(2180C)sin(902C)cos2Csin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)

Sehingga 

========sinA+sinBsinCsinA+sinB+sinC(sinA+sinB)sinC(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)2sin(2C)cos(2C)2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin(2C)cos(2C)2cos(2C)cos(2AB)2cos(2A+B)cos(2C)2cos(2C)cos(2AB)+2cos(2A+B)sin(2C)2cos(2C)[cos(2AB)cos(2A+B)]2cos(2C)[cos(2AB)+cos(2A+B)]2cos(2C)[2sin(2AB+A+B)sin(2ABAB)]2cos(2C)[2cos(2AB+A+B)cos(2ABAB)]2cos(2C)[2sin(22A)sin(22B)]2cos(2C)[2cos(22A)cos(22B)]4sin(2A)sin(2B)cos(2C)4cos(2A)cos(2B)cos(2C)cotan(2A)cotan(2B) 

Dengan demikian terbukti bahwa sinA+sinBsinCsinA+sinB+sinC=cotan(2A)cotan(2B)

 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved