Pertanyaan

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Buktikan setiap identitas berikut.

$\frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} = 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dua sudutyaitu S in ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Rumus jumlah dan selisih Trigonometri sin A + sin B cos A + cos B = = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 1 − cos 2 A = = 1 − 2 sin 2 A 2 sin 2 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C C cos 2 C sin 2 C sin 2 C sin C = = = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − ( A + B ) cos ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) cos ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) sin ( 2 A + B ) sin 2 ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 36 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) − sin 2 ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) cos ( 2 A + B ) Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari S in 2 A + sin 2 B + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = = = = = = = = = = = sin 2 A + sin 2 B − sin 2 ( A + B ) sin 2 A + sin 2 B − sin ( 2 A + 2 B ) sin 2 A + sin 2 B − ( sin 2 A cos 2 B + cos 2 A sin 2 B ) sin 2 A − sin 2 A cos 2 B + sin 2 B − cos 2 A sin 2 B sin 2 A ( 1 − cos 2 B ) + sin 2 B ( 1 − cos 2 A ) 2 sin A cos A ⋅ 2 sin 2 B + 2 sin B cos B ⋅ 2 sin 2 A 4 sin A sin B [ cos A sin B + cos B sin A ] 4 sin A sin B [ sin A cos B + cos A sin B ] 4 sin A sin B [ sin ( A + B ) ] 4 sin A sin B sin ( 18 0 ∘ − C ) 4 sin A sin B sin C Kemudian akan dicari hasil dari sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin C = = = = = = = ( sin A + sin B ) + sin C 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) + 2 sin 2 C cos 2 C 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + sin 2 C ) 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + cos ( 2 A + B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 1 ( 2 A − B + A + B ) cos 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos ( 4 2 A ) cos ( 4 − 2 B ) ) 4 cos 2 A cos 2 B cos 2 C Maka s i n A + s i n B + s i n C s i n 2 A + s i n 2 B + s i n 2 C = = = 4 c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 4 s i n A s i n B s i n + 4 m u C 4 c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 4 ⋅ 2 s i n 2 A c o s 2 A ⋅ 2 s i n 2 B c o s 2 B ⋅ 2 s i n 2 C c o s 2 C 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian terbuktibahwa sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

$S in (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

$sin A + sin B cos A + cos B = = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

$sin (36 0^{\circ} - α) = - sin α$

$cos (- α) = cos α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A 1 - cos 2 A = = 1 - 2 sin^{2} A 2 sin^{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C C cos \frac{C}{2} sin 2 C sin 2 C sin C = = = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - (A + B) cos (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) cos (9 0^{\circ} - \frac{( A + B )}{2}) sin (\frac{A + B}{2}) sin 2 (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (36 0^{\circ} - 2 (A + B)) - sin 2 (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - \frac{( A + B )}{2}) cos (\frac{A + B}{2})$

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari $S in 2 A + sin 2 B + sin 2 C$

$sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = = = = = = = = = = = sin 2 A + sin 2 B - sin 2 (A + B) sin 2 A + sin 2 B - sin (2 A + 2 B) sin 2 A + sin 2 B - (sin 2 A cos 2 B + cos 2 A sin 2 B) sin 2 A - sin 2 A cos 2 B + sin 2 B - cos 2 A sin 2 B sin 2 A (1 - cos 2 B) + sin 2 B (1 - cos 2 A) 2 sin A cos A \cdot 2 sin^{2} B + 2 sin B cos B \cdot 2 sin^{2} A 4 sin A sin B [cos A sin B + cos B sin A] 4 sin A sin B [sin A cos B + cos A sin B] 4 sin A sin B [sin (A + B)] 4 sin A sin B sin (18 0^{\circ} - C) 4 sin A sin B sin C$

Kemudian akan dicari hasil dari $sin A + sin B + sin C$

$sin A + sin B + sin C = = = = = = = (sin A + sin B) + sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) + 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + sin \frac{C}{2}) 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + cos (\frac{A + B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos (\frac{2 A}{4}) cos (\frac{- 2 B}{4})) 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

Maka

$\frac{s i n 2 A + s i n 2 B + s i n 2 C}{s i n A + s i n B + s i n C} = = = \frac{4 s i n A s i n B s i n + 4 m u C}{4 c o s \frac{A}{2} c o s \frac{B}{2} c o s \frac{C}{2}} \frac{4 \cdot 2 s i n \frac{A}{2} c o s \frac{A}{2} \cdot 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} \cdot 2 s i n \frac{C}{2} c o s \frac{C}{2}}{4 c o s \frac{A}{2} c o s \frac{B}{2} c o s \frac{C}{2}} 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2}) (terbukti)$

Dengan demikian terbukti bahwa $\frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} = 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , buktikan bahwa: a. sin A + sin B + sin C = 4 cos 2 A ⋅ cos 2 B ⋅ cos 2 C

4.8

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

5.0

Jawaban terverifikasi