Pertanyaan

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Buktikan setiap identitas berikut.

$\frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} = 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dua sudutyaitu S in ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Rumus jumlah dan selisih Trigonometri sin A + sin B cos A + cos B = = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 1 − cos 2 A = = 1 − 2 sin 2 A 2 sin 2 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C C cos 2 C sin 2 C sin 2 C sin C = = = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − ( A + B ) cos ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) cos ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) sin ( 2 A + B ) sin 2 ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 36 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) − sin 2 ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − 2 ( A + B ) ) cos ( 2 A + B ) Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari S in 2 A + sin 2 B + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = = = = = = = = = = = sin 2 A + sin 2 B − sin 2 ( A + B ) sin 2 A + sin 2 B − sin ( 2 A + 2 B ) sin 2 A + sin 2 B − ( sin 2 A cos 2 B + cos 2 A sin 2 B ) sin 2 A − sin 2 A cos 2 B + sin 2 B − cos 2 A sin 2 B sin 2 A ( 1 − cos 2 B ) + sin 2 B ( 1 − cos 2 A ) 2 sin A cos A ⋅ 2 sin 2 B + 2 sin B cos B ⋅ 2 sin 2 A 4 sin A sin B [ cos A sin B + cos B sin A ] 4 sin A sin B [ sin A cos B + cos A sin B ] 4 sin A sin B [ sin ( A + B ) ] 4 sin A sin B sin ( 18 0 ∘ − C ) 4 sin A sin B sin C Kemudian akan dicari hasil dari sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin C = = = = = = = ( sin A + sin B ) + sin C 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) + 2 sin 2 C cos 2 C 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + sin 2 C ) 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + cos ( 2 A + B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 1 ( 2 A − B + A + B ) cos 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos ( 4 2 A ) cos ( 4 − 2 B ) ) 4 cos 2 A cos 2 B cos 2 C Maka s i n A + s i n B + s i n C s i n 2 A + s i n 2 B + s i n 2 C = = = 4 c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 4 s i n A s i n B s i n + 4 m u C 4 c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 4 ⋅ 2 s i n 2 A c o s 2 A ⋅ 2 s i n 2 B c o s 2 B ⋅ 2 s i n 2 C c o s 2 C 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian terbuktibahwa sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

$S in (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

$sin A + sin B cos A + cos B = = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

$sin (36 0^{\circ} - α) = - sin α$

$cos (- α) = cos α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A 1 - cos 2 A = = 1 - 2 sin^{2} A 2 sin^{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C C cos \frac{C}{2} sin 2 C sin 2 C sin C = = = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - (A + B) cos (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) cos (9 0^{\circ} - \frac{( A + B )}{2}) sin (\frac{A + B}{2}) sin 2 (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (36 0^{\circ} - 2 (A + B)) - sin 2 (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - \frac{( A + B )}{2}) cos (\frac{A + B}{2})$

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari $S in 2 A + sin 2 B + sin 2 C$

$sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = = = = = = = = = = = sin 2 A + sin 2 B - sin 2 (A + B) sin 2 A + sin 2 B - sin (2 A + 2 B) sin 2 A + sin 2 B - (sin 2 A cos 2 B + cos 2 A sin 2 B) sin 2 A - sin 2 A cos 2 B + sin 2 B - cos 2 A sin 2 B sin 2 A (1 - cos 2 B) + sin 2 B (1 - cos 2 A) 2 sin A cos A \cdot 2 sin^{2} B + 2 sin B cos B \cdot 2 sin^{2} A 4 sin A sin B [cos A sin B + cos B sin A] 4 sin A sin B [sin A cos B + cos A sin B] 4 sin A sin B [sin (A + B)] 4 sin A sin B sin (18 0^{\circ} - C) 4 sin A sin B sin C$

Kemudian akan dicari hasil dari $sin A + sin B + sin C$

$sin A + sin B + sin C = = = = = = = (sin A + sin B) + sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) + 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + sin \frac{C}{2}) 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + cos (\frac{A + B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos (\frac{2 A}{4}) cos (\frac{- 2 B}{4})) 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

Maka

$\frac{s i n 2 A + s i n 2 B + s i n 2 C}{s i n A + s i n B + s i n C} = = = \frac{4 s i n A s i n B s i n + 4 m u C}{4 c o s \frac{A}{2} c o s \frac{B}{2} c o s \frac{C}{2}} \frac{4 \cdot 2 s i n \frac{A}{2} c o s \frac{A}{2} \cdot 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} \cdot 2 s i n \frac{C}{2} c o s \frac{C}{2}}{4 c o s \frac{A}{2} c o s \frac{B}{2} c o s \frac{C}{2}} 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2}) (terbukti)$

Dengan demikian terbukti bahwa $\frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} = 8 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})$

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , buktikan bahwa: a. sin A + sin B + sin C = 4 cos 2 A ⋅ cos 2 B ⋅ cos 2 C

4.8

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS