Show that n2(n−1)>2n+1 for all natural number .

Pertanyaan

Show that $n^{2} (n - 1) > 2 n + 1$ for all natural number $begin mathsize 14px style n greater or equal than 3 end style$ .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$3^{2} (3 - 1) 9 (2) 18 > > > 2 (3) + 1 77$

Benar untuk $n equals 1$ .

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$k^{2} (k - 1) > 2 k + 1$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan

$(k + 1)^{2} ((k + 1) - 1) > 2 (k + 1) + 1$

Maka:

$k^{2} (k - 1) k^{3} - k^{2} k^{3} - k^{2} k^{3} - k^{2} + (3 k^{2} + k) k^{3} + 2 k^{2} + k k (k + 2 k + 1) k (k + 1)^{2} (k + 1)^{2} k (k + 1)^{2} ((k + 1) - 1) > > > > > > > > > 2 k + 1 2 k - 1 2 k - 1 2 k - 1 + (3 k^{2} + k) 2 k^{2} + 3 k - 1 2 k^{2} + 3 k - 1 + (- 2 k^{2} - k + 4) (dengan n \geq 3) 2 k + 3 2 k + 2 + 1 2 (k + 1) + 1$

Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli $n \geq 3$ berlaku $n^{2} (n - 1) > 2 n + 1$ .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 19 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan bahwa , untuk .

Pembahasan Soal:

P(n) adalah $begin mathsize 14px style 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 space plus space x right parenthesis to the power of n end style$ , untuk $begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style$

Langkah 1:
Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 1.

$begin mathsize 14px style space space space 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of n space 1 plus left parenthesis 1 right parenthesis x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of 1 space space space space space space space space space space space 1 plus x less or equal than 1 plus x space end style$ untuk $begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style$

Terbukti.

Langkah 2:
Andaikan P(n) benar untuk n = k, yaitu :

$begin mathsize 14px style 1 plus k x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of k space end style$ untuk $begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style$

akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1,

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis x end cell less or equal than cell 1 plus k x plus x space end cell row cell space space space space space end cell less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus x end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses x plus 1 close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell end table$ untuk $begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style$

Terbukti.

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut untuk semua bilangan asli .

Pembahasan Soal:

untuk semua bilangan asli $undefined$ , akan dibuktikan

$begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style$

Langkah 1, perlihatkan untuk $n equals 1$ bernilai benar.

$n equals 1 rightwards arrow fraction numerator 1 over denominator square root of 1 end fraction less than 2 square root of 1 space text (benar) end text$

Langkah 2. Asumsu n=k benar untuk

$P subscript k identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction less than 2 square root of k$

Langkah3. akan dibuktikan benar untuk n=k+1

$begin mathsize 12px style P subscript k plus 1 end subscript identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction less than 2 square root of k plus 1 end root end style$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 square root of k plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction end cell less than cell 2 square root of k plus 1 end root space left parenthesis text dikali end text square root of k plus 1 end root right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 k plus 2 space text (kedua ruas dikurang 1) end text end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root end cell less than cell 2 k plus 1 text (kedua ruas dikuadratkan) end text end cell row cell 4 left parenthesis k squared plus k right parenthesis end cell less than cell open parentheses 2 k plus 1 close parentheses squared end cell row cell 4 k squared plus 4 k end cell less than cell 4 k squared plus 4 k plus 1 end cell end table$

Dengan demikian, terbukti bahwa $begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style$ .

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ...

Pembahasan Soal:

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli $n$ , yaitu $n greater or equal than 1$ , maka langkah pertamanya adalah buktikan $P subscript 1$ benar.

LANGKAH 1: Buktikan $bold italic P subscript bold 1$ benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

$P subscript n colon space 3 to the power of n greater than 2 n$

Didapat $P subscript 1$ sebagai berikut.

$P subscript 1 colon space 3 to the power of 1 greater than 2 left parenthesis 1 right parenthesis$

Perhitungan pada ruas kiri: $begin mathsize 14px style 3 to the power of 1 equals 3 end style$ .
Perhitungan pada ruas kanan: $begin mathsize 14px style 2 open parentheses 1 close parentheses equals 2 end style$ .

Karena ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka $P subscript 1$ benar.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli $bold italic k$ , jika $bold italic P subscript bold italic k$ bernilai benar, mengakibatkan $bold italic P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript$ bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

$P subscript n colon space 3 to the power of n greater than 2 n$

Asumsikan pernyataan $P subscript k$ berikut benar!

$P subscript k colon space 3 to the power of k greater than 2 k$

Perhatikan pernyataan $P subscript k plus 1 end subscript$ berikut!

$P subscript k plus 1 end subscript colon space 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis$

Dari ruas kiri $P subscript k plus 1 end subscript$ , diperoleh perhitungan sebagai berikut.

_{$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 3 left parenthesis 3 to the power of k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 3 left parenthesis 2 k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis 3 k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 2 k right parenthesis end cell end table$}

Karena $k$ adalah bilangan asli, yaitu $k greater or equal than 1$ , maka diperoleh perhitungan berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell 2 left parenthesis k plus 2 k right parenthesis end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater or equal than cell 2 open parentheses k plus 2 open parentheses 1 close parentheses close parentheses end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell end table$

Didapat bahwa $3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis$ sehingga $P subscript k plus 1 end subscript$ bernilai benar.

Karena

1. $P subscript 1$ benar dan

2. untuk sembarang bilangan asli $k$ , jika $P subscript k$ bernilai benar, mengakibatkan $P subscript k plus 1 end subscript$ bernilai benar,

maka $P subscript n$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, disimpulkan bahwa pernyataan terbukti dengan induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku: , untuk

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan induksi matematika dimana

n = 6maka

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

Untuk n = k+1 maka akan dibuktikan

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent space end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table$

Jadi terbukti bahwa $straight P subscript straight n identical to left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared less than 2 to the power of straight n$ dimana $straight n greater or equal than 6$ karena hasil $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table$

Roboguru

Pernyataan selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

Pembahasan Soal:

Karena

$undefined$

Maka, untuk n = 0, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style P subscript 0 colon 2 open parentheses 0 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 0 end style$

Ruas kiri = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style 2 to the power of 0 equals 1 end style$

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P₀ bernilai salah.

Selanjutnya untuk n = 1, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 2 open parentheses 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 1 end style$

Ruas kiri = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style 2 to the power of 1 equals 2 end style$

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P₁ bernilai salah.

Selanjutnya untuk n = 2, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style P subscript 2 colon 2 open parentheses 2 close parentheses plus 3 less than 2 squared end style$

Ruas kiri = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style 2 squared equals 4 end style$

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P₂ bernilai salah.

Selanjutnya untuk n = 3, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style P subscript 3 colon 2 open parentheses 3 close parentheses plus 3 less than 2 cubed end style$

Ruas kiri = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style 2 cubed equals 8 end style$

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P₃ bernilai salah.

Selanjutnya, untuk n = 4, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style P subscript 4 colon 2 open parentheses 4 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 4 end style$

Ruas kiri = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style 2 to the power of 4 equals 16 end style$

Karena ruas kiri < ruas kanan, maka P₄ bernilai benar.

Sehingga P₄bernilai benar. Maka, berkemungkinan P_n bernilai benar untuk bilangan bulat n ≥ 4.

Sehingga selanjutnya, buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Karena

$begin mathsize 14px style P subscript n colon 2 n plus 3 less than 2 to the power of n end style$

maka

$begin mathsize 14px style P subscript k colon 2 k plus 3 less than 2 to the power of k end style$

Dan

$begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style$

Dari ruas kiri P_k+1

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell equals cell 2 k plus 2 plus 3 end cell row blank equals cell 2 k plus 3 plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell end table end style$

Perhatikan bahwa untuk k ≥ 4, maka $begin mathsize 14px style 2 to the power of k greater or equal than 2 to the power of 4 equals 16 greater than 2 comma end style$ sehingga

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table end style$

Maka $begin mathsize 14px style 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style$ .

Sehingga, P_k+1 bernilai benar.

Karena

1. P₄ benar.

2. Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.