Roboguru

Show that n2(n−1)>2n+1 for all natural number .

Pertanyaan

Show that n2(n1)>2n+1 for all natural number begin mathsize 14px style n greater or equal than 3 end style.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

32(31)9(2)18>>>2(3)+177  

Benar untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

k2(k1)>2k+1   

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan

(k+1)2((k+1)1)>2(k+1)+1 

Maka:

k2(k1)k3k2k3k2k3k2+(3k2+k)k3+2k2+kk(k+2k+1)k(k+1)2(k+1)2k(k+1)2((k+1)1)>>>>>>>>>2k+12k12k12k1+(3k2+k)2k2+3k12k2+3k1+(2k2k+4)(dengann3)2k+32k+2+12(k+1)+1     

Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli n3 berlaku n2(n1)>2n+1.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 19 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan bahwa , untuk .

Pembahasan Soal:

P(n) adalah begin mathsize 14px style 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 space plus space x right parenthesis to the power of n end style, untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Langkah 1:
Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 1.

begin mathsize 14px style space space space 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of n space 1 plus left parenthesis 1 right parenthesis x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of 1 space space space space space space space space space space space 1 plus x less or equal than 1 plus x space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

Langkah 2:
Andaikan P(n) benar untuk n = k, yaitu :

 begin mathsize 14px style 1 plus k x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of k space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1, 

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis x end cell less or equal than cell 1 plus k x plus x space end cell row cell space space space space space end cell less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus x end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses x plus 1 close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell end table untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut untuk semua bilangan asli .

Pembahasan Soal:

untuk semua bilangan asli undefined, akan dibuktikan

begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style

Langkah 1, perlihatkan untuk n equals 1 bernilai benar.

n equals 1 rightwards arrow fraction numerator 1 over denominator square root of 1 end fraction less than 2 square root of 1 space text (benar) end text

Langkah 2. Asumsu n=k benar untuk 

P subscript k identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction less than 2 square root of k 

Langkah3. akan dibuktikan benar untuk n=k+1

begin mathsize 12px style P subscript k plus 1 end subscript identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction less than 2 square root of k plus 1 end root end style

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 square root of k plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction end cell less than cell 2 square root of k plus 1 end root space left parenthesis text dikali  end text square root of k plus 1 end root right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 k plus 2 space text (kedua ruas dikurang 1) end text end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root end cell less than cell 2 k plus 1 text  (kedua ruas dikuadratkan) end text end cell row cell 4 left parenthesis k squared plus k right parenthesis end cell less than cell open parentheses 2 k plus 1 close parentheses squared end cell row cell 4 k squared plus 4 k end cell less than cell 4 k squared plus 4 k plus 1 end cell end table

Dengan demikian, terbukti bahwa  begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style.

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ...

Pembahasan Soal:

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n greater or equal than 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.

LANGKAH 1: Buktikan bold italic P subscript bold 1 benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

P subscript n colon space 3 to the power of n greater than 2 n

Didapat P subscript 1 sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 3 to the power of 1 greater than 2 left parenthesis 1 right parenthesis

Perhitungan pada ruas kiri: begin mathsize 14px style 3 to the power of 1 equals 3 end style.
Perhitungan pada ruas kanan: begin mathsize 14px style 2 open parentheses 1 close parentheses equals 2 end style.

Karena ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka P subscript 1 benar.


LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli bold italic k, jika bold italic P subscript bold italic k bernilai benar, mengakibatkan bold italic P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

P subscript n colon space 3 to the power of n greater than 2 n    

Asumsikan pernyataan P subscript k berikut benar!

P subscript k colon space 3 to the power of k greater than 2 k

Perhatikan pernyataan P subscript k plus 1 end subscript berikut!

P subscript k plus 1 end subscript colon space 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis    

Dari ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript, diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 3 left parenthesis 3 to the power of k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 3 left parenthesis 2 k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis 3 k right parenthesis 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 2 k right parenthesis end cell end table

Karena k adalah bilangan asli, yaitu k greater or equal than 1, maka diperoleh perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell 2 left parenthesis k plus 2 k right parenthesis end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater or equal than cell 2 open parentheses k plus 2 open parentheses 1 close parentheses close parentheses end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row cell 3 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell end table            

Didapat bahwa 3 to the power of k plus 1 end exponent greater than 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis sehingga P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Karena

1. P subscript 1 benar dan

2. untuk sembarang bilangan asli k, jika P subscript k bernilai benar, mengakibatkan P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar,

maka P subscript n benar untuk setiap bilangan asli n menurut prinsip induksi matematika.


Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, disimpulkan bahwa pernyataan terbukti dengan induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

5

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:  , untuk

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan induksi matematika dimana

n = 6maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis 6 plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of 6 end cell row cell 7 squared end cell less than cell 2 to the power of 6 end cell row 49 less than cell 64 rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight k rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k+1 maka akan dibuktikan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent space end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight P subscript straight n identical to left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared less than 2 to the power of straight n dimana straight n greater or equal than 6 karena hasil table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table

0

Roboguru

Pernyataan        selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

Pembahasan Soal:

 Karena

undefined     

Maka, untuk n = 0, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 0 colon 2 open parentheses 0 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 0 end style    

Ruas kiri = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 0 equals 1 end style     

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P0 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 1, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 2 open parentheses 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 1 end style      

Ruas kiri = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 1 equals 2 end style    

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P1 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 2, didapat bahwa

 begin mathsize 14px style P subscript 2 colon 2 open parentheses 2 close parentheses plus 3 less than 2 squared end style          

Ruas kiri = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 squared equals 4 end style          

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P2 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 3, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 3 colon 2 open parentheses 3 close parentheses plus 3 less than 2 cubed end style     

Ruas kiri = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 cubed equals 8 end style    

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P3 bernilai salah.

 

Selanjutnya, untuk n = 4, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 4 colon 2 open parentheses 4 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 4 end style      

Ruas kiri = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 4 equals 16 end style    

Karena ruas kiri < ruas kanan, maka P4 bernilai benar.

 

Sehingga P4 bernilai benar. Maka, berkemungkinan Pn bernilai benar untuk bilangan bulat n ≥ 4.

Sehingga selanjutnya, buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Karena

begin mathsize 14px style P subscript n colon 2 n plus 3 less than 2 to the power of n end style    

maka

begin mathsize 14px style P subscript k colon 2 k plus 3 less than 2 to the power of k end style      

Dan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style   

Dari ruas kiri Pk+1  

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell equals cell 2 k plus 2 plus 3 end cell row blank equals cell 2 k plus 3 plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell end table end style    

Perhatikan bahwa untuk k ≥ 4, maka begin mathsize 14px style 2 to the power of k greater or equal than 2 to the power of 4 equals 16 greater than 2 comma end style sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table end style         

Maka begin mathsize 14px style 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style  .

Sehingga, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P4 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4, menurut prinsip induksi matematika. 

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved