Pertanyaan

Show that n 2 ( n − 1 ) > 2 n + 1 for all natural number n ≥ 3 .

Show that $n^{2} (n - 1) > 2 n + 1$ for all natural number $n \geq 3$ .

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

untuk setiap bilangan asli n ≥ 3 berlaku n 2 ( n − 1 ) > 2 n + 1 .

untuk setiap bilangan asli

n \geq 3

berlaku

n^{2} (n - 1) > 2 n + 1

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. 3 2 ( 3 − 1 ) 9 ( 2 ) 18 > > > 2 ( 3 ) + 1 7 7 Benar untuk . 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n = k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. k 2 ( k − 1 ) > 2 k + 1 3. Untuk n = k + 1 akan dibuktikan ( k + 1 ) 2 ( ( k + 1 ) − 1 ) > 2 ( k + 1 ) + 1 Maka: k 2 ( k − 1 ) k 3 − k 2 k 3 − k 2 k 3 − k 2 + ( 3 k 2 + k ) k 3 + 2 k 2 + k k ( k + 2 k + 1 ) k ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) 2 k ( k + 1 ) 2 (( k + 1 ) − 1 ) > > > > > > > > > 2 k + 1 2 k − 1 2 k − 1 2 k − 1 + ( 3 k 2 + k ) 2 k 2 + 3 k − 1 2 k 2 + 3 k − 1 + ( − 2 k 2 − k + 4 ) ( dengan n ≥ 3 ) 2 k + 3 2 k + 2 + 1 2 ( k + 1 ) + 1 Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli n ≥ 3 berlaku n 2 ( n − 1 ) > 2 n + 1 .

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$3^{2} (3 - 1) 9 (2) 18 > > > 2 (3) + 1 77$

Benar untuk n equals 1 .

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$k^{2} (k - 1) > 2 k + 1$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan

$(k + 1)^{2} ((k + 1) - 1) > 2 (k + 1) + 1$

Maka:

$k^{2} (k - 1) k^{3} - k^{2} k^{3} - k^{2} k^{3} - k^{2} + (3 k^{2} + k) k^{3} + 2 k^{2} + k k (k + 2 k + 1) k (k + 1)^{2} (k + 1)^{2} k (k + 1)^{2} ((k + 1) - 1) > > > > > > > > > 2 k + 1 2 k - 1 2 k - 1 2 k - 1 + (3 k^{2} + k) 2 k^{2} + 3 k - 1 2 k^{2} + 3 k - 1 + (- 2 k^{2} - k + 4) (dengan n \geq 3) 2 k + 3 2 k + 2 + 1 2 (k + 1) + 1$