Seorang petani memerlukan sedikitnya 10 kg bahan organik A, 12 kg bahan organik B, dan 12 kg bahan organik C untuk menyuburkan tanamannya. Kebutuhan itu dipenuhi dari pupuk cair yang mengandung 5 kg A, 2 kg B, dan 1 kg C tiap botol dan pupuk tabur yang mengandung 1 kg A, 2 kg B, dan 4 kg C tiap kantong. Harga pupuk cair Rp30.000,00 per botol dan pupuk tabur Rp24.000,00 per kantong. Banyaknya setiap jenis pupuk harus dibeli agar biaya pemupukan seminimal mungkin adalah ....

Pertanyaan

Seorang petani memerlukan sedikitnya $10\;\mathrm{kg}$ bahan organik A, $12\;\mathrm{kg}$ bahan organik B, dan $12\;\mathrm{kg}$ bahan organik C untuk menyuburkan tanamannya. Kebutuhan itu dipenuhi dari pupuk cair yang mengandung $5\;\mathrm{kg}$ A, $2\;\mathrm{kg}$ B, dan $1\;\mathrm{kg}$ C tiap botol dan pupuk tabur yang mengandung $1\;\mathrm{kg}$ A, $2\;\mathrm{kg}$ B, dan $4\;\mathrm{kg}$ C tiap kantong. Harga pupuk cair $\mathrm{Rp}30.000,00$ per botol dan pupuk tabur $\mathrm{Rp}24.000,00$ per kantong. Banyaknya setiap jenis pupuk harus dibeli agar biaya pemupukan seminimal mungkin adalah ....

$2\;\mathrm{kg}$ pupuk cair, $0\;\mathrm{kg}$ pupuk tabur
$0\;\mathrm{kg}$ pupuk cair, $3\;\mathrm{kg}$ pupuk tabur
$0\;\mathrm{kg}$ pupuk cair, $2\;\mathrm{kg}$ pupuk tabur
$1\;\mathrm{kg}$ pupuk cair, $5\;\mathrm{kg}$ pupuk tabur
$2\;\mathrm{kg}$ pupuk cair, $3\;\mathrm{kg}$ pupuk tabur

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Soal cerita di atas merupakan permasalahan program linear.

Misalkan:

$\begin{array}{rcl}x&=&\mathrm{banyak}\;\mathrm{botol}\;\mathrm{pupuk}\;\mathrm{cair}\\y&=&\mathrm{banyak}\;\mathrm{kantong}\;\mathrm{pupuk}\;\mathrm{tabur}\end{array}$

Dari permasalahan tersebut, dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

Sehingga diperoleh model matematika sistem pertidaksamaan untuk fungsi kendala sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}&&\left\{5x+y\geq10\\2x+2x\geq12\\x+4y\geq12\\x\geq0\\y\geq0\right.\end{array}$

Sedangkan fungsi tujuannya, yaitu:

$F(x,\;y)=30.000x+24.000y$

Mencari titik potong pertidaksamaan terhadap sumbu $x$ dan sumbu $y$ .

Untuk $5x+y\geq10$ , titik potongnya yaitu:

$\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{ccccc}x=0&\rightarrow&5(0)+y=10&\rightarrow&\left(0,\;10\right)\\&&y=10&&\\&&&&\\y=0&\rightarrow&5x+0=10&\rightarrow&(2,\;0)\\&&x=\frac{10}5&&\\&&=2&&\end{array}\end{array}$

Untuk $2x+2y\geq12$ , titik potongnya yaitu:

$\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{ccccc}x=0&\rightarrow&2(0)+2y=12&\rightarrow&\left(0,\;6\right)\\&&y=\frac{12}2&&\\&&=6&&\\&&&&\\y=0&\rightarrow&2x+2\left(0\right)=12&\rightarrow&(6,\;0)\\&&x=\frac{12}2&&\\&&=6&&\end{array}\end{array}$

Untuk $x+4y\geq12$ , titik potongnya yaitu:

$\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{ccccc}x=0&\rightarrow&(0)+4y=12&\rightarrow&\left(0,\;3\right)\\&&y=\frac{12}4&&\\&&=3&&\\&&&&\\y=0&\rightarrow&x+4\left(0\right)=12&\rightarrow&(12,\;0)\\&&x=12&&\end{array}\end{array}$

Grafik daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut, yaitu:

Titik A, B, C dan titik D merupakan titik pojok pada daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaaan fungsi kendala. Titik B dan titik C dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi.

Mencari titik B:

Eliminasi persamaan garis $5x+y=10$ dan persamaan garis $2x+2y=12$ .

$\begin{array}{cccc}5x+y=10&\vert\times2\vert&10x+2y=20&\\2x+2y=12&\vert\times1\vert&2x+2y=12&-\\\hline&&8x=8&\\&&x=\frac88&\\&&=1&\end{array}$

Substitusi $x=1$ ke persamaan $2x+2y=12$ .

$\begin{array}{rcl}2x+2y&=&12\\{2(1)+2y}&=&12\\2y&=&12-2\\y&=&\frac{10}2\\&=&5\end{array}$

Sehingga diperoleh titik $\mathrm B(1,\;5)$ .

Mencari titik C:

Eliminasi persamaan garis $x+4y=12$ dan persamaan garis $2x+2y=12$ .

$\begin{array}{cccc}x+4y=12&\vert\times2\vert&2x+8y=24&\\2x+2y=12&\vert\times1\vert&2x+2y=12&-\\\hline&&6y=12&\\&&y=\frac{12}6&\\&&=2&\end{array}$

Substitusi $y=2$ ke persamaan $2x+2y=12$ .

$\begin{array}{rcl}2x+2y&=&12\\2x+2\left(2\right)&=&12\\2x&=&12-4\\x&=&\frac82\\&=&4\end{array}$

Sehingga diperoleh titik $\mathrm C(4,\;2)$ .

Mencari biaya minimal dapat digunakan metode titik pojok sebagai berikut:

Substitusi masing-masing titik pojok ke fungsi tujuan.

Titik $\mathrm A(0,\;10)$ :

$\begin{array}{rcl}F(0,\;10)&=&30.000\left(0\right)+24.000\left(10\right)\\&=&240.000\end{array}$

Titik $\mathrm B(1,\;5)$ :

$\begin{array}{rcl}{F(1,\;5)}&=&30.000\left(1\right)+24.000\left(5\right)\\&=&150.000\end{array}$

Titik $\mathrm C(4,\;4)$ :

$\begin{array}{rcl}{F(4,\;4)}&=&30.000\left(4\right)+24.000\left(4\right)\\&=&216.000\end{array}$

Titik $\mathrm D(12,\;0)$ :

$\begin{array}{rcl}{F(12,\;0)}&=&30.000\left(12\right)+24.000\left(0\right)\\&=&360.000\end{array}$

Berdasarkan perhitungan tersebut, titik $\mathrm B(1,\;5)$ memberikan biaya paling minimum yaitu Rp150.000.

Dengan demikian, Banyaknya setiap jenis pupuk harus dibeli agar biaya pemupukan seminimal mungkin adalah 1 botol pupuk cair dan 5 kantong pupuk tabur.

Keterangan: Pada pilihan jawaban tertulis satuan kilogram untuk setiap jenis pupuk. Seharusnya satuan banyak pupuk cair adalah botol, dan satuan banyak pupuk tabur adalah kantong.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

734

4.0 (1 rating)

Qorina Maya S

Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Pak Dahlan akan menambah dagangan helmnya. Dengan keterbatasan tempat, helm jenis A dan jenis B tidak melebihi 50 helm. Harga pembelian helm jenis A adalah Rp120.000, sedangkan harga helm jenis B adal...

356

0.0

Jawaban terverifikasi

Seorang pemborong mendapat pesanan dua jenis bentuk pagar, yaitu jenis I seharga Rp30.000,00/m dan pagar jenis II seharga Rp45.000,00/m. Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi bet...

1rb+

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah pabrik memproduksi barang kualitas A dan B. Produksi maksimum setiap harinya 12 unit. Permintaan konsumen paling sedikit harus dibuat 2 unit barang kualitas A dan 7 unit barang kualitas B. Adap...

429

1.0

Jawaban terverifikasi

Seorang pemilik toko ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan...

491

5.0

Jawaban terverifikasi

Seorang pedagang asongan, membeli barang A dengan harga Rp100,00 dan dapat menjualnya dengan harga Rp130,00 setiap barangnya. Ia membeli barang B dengan harga Rp200,00 setiap barang dan dapat menjualn...

529

5.0

Jawaban terverifikasi