Seorang petani memerlukan sedikitnya 10 kg bahan organik A, 12 kg bahan organik B, dan 12 kg bahan organik C untuk menyuburkan tanamannya. Kebutuhan itu dipenuhi dari pupuk cair yang mengandung 5 kg A, 2 kg B, dan 1 kg C tiap botol dan pupuk tabur yang mengandung 1 kg A, 2 kg B, dan 4 kg C tiap kantong. Harga pupuk cair Rp 30.000 , 00 per botol dan pupuk tabur Rp 24.000 , 00 per kantong. Banyaknya setiap jenis pupuk harus dibeli agar biaya pemupukan seminimal mungkin adalah ....

Pembahasan

Soal cerita di atas merupakan permasalahan program linear. Misalkan: x y ​ = = ​ banyak botol pupuk cair banyak kantong pupuk tabur ​ Dari permasalahan tersebut, dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut. Sehingga diperoleh model matematika sistem pertidaksamaan untuk fungsi kendala sebagai berikut: ​ ​ { 5 x + y ≥ 10 2 x + 2 x ≥ 12 x + 4 y ≥ 12 x ≥ 0 y ≥ 0 ​ Sedangkan fungsi tujuannya, yaitu: F ( x , y ) = 30.000 x + 24.000 y Mencari titik potong pertidaksamaan terhadap sumbu x dan sumbu y . Untuk 5 x + y ≥ 10 , titik potongnya yaitu: ​ ​ x = 0 y = 0 ​ → → ​ 5 ( 0 ) + y = 10 y = 10 5 x + 0 = 10 x = 5 10 ​ = 2 ​ → → ​ ( 0 , 10 ) ( 2 , 0 ) ​ ​ Untuk 2 x + 2 y ≥ 12 , titik potongnya yaitu: ​ ​ x = 0 y = 0 ​ → → ​ 2 ( 0 ) + 2 y = 12 y = 2 12 ​ = 6 2 x + 2 ( 0 ) = 12 x = 2 12 ​ = 6 ​ → → ​ ( 0 , 6 ) ( 6 , 0 ) ​ ​ Untuk x + 4 y ≥ 12 , titik potongnya yaitu: ​ ​ x = 0 y = 0 ​ → → ​ ( 0 ) + 4 y = 12 y = 4 12 ​ = 3 x + 4 ( 0 ) = 12 x = 12 ​ → → ​ ( 0 , 3 ) ( 12 , 0 ) ​ ​ Grafik daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut, yaitu: Titik A, B, C dan titik D merupakan titik pojok pada daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaaan fungsi kendala. Titik B dan titik C dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi. Mencari titik B: Eliminasi persamaan garis 5 x + y = 10 dan persamaan garis 2 x + 2 y = 12 . 5 x + y = 10 2 x + 2 y = 12 ​ ∣ × 2∣ ∣ × 1∣ ​ 10 x + 2 y = 20 2 x + 2 y = 12 8 x = 8 x = 8 8 ​ = 1 ​ − ​ ​ Substitusi x = 1 ke persamaan 2 x + 2 y = 12 . 2 x + 2 y 2 ( 1 ) + 2 y 2 y y ​ = = = = = ​ 12 12 12 − 2 2 10 ​ 5 ​ Sehingga diperoleh titik B ( 1 , 5 ) . Mencari titik C: Eliminasi persamaan garis x + 4 y = 12 dan persamaan garis 2 x + 2 y = 12 . x + 4 y = 12 2 x + 2 y = 12 ​ ∣ × 2∣ ∣ × 1∣ ​ 2 x + 8 y = 24 2 x + 2 y = 12 6 y = 12 y = 6 12 ​ = 2 ​ − ​ ​ Substitusi y = 2 ke persamaan 2 x + 2 y = 12 . 2 x + 2 y 2 x + 2 ( 2 ) 2 x x ​ = = = = = ​ 12 12 12 − 4 2 8 ​ 4 ​ Sehingga diperoleh titik C ( 4 , 2 ) . Mencari biaya minimal dapat digunakan metode titik pojok sebagai berikut: Substitusi masing-masing titik pojok ke fungsi tujuan. Titik A ( 0 , 10 ) : F ( 0 , 10 ) ​ = = ​ 30.000 ( 0 ) + 24.000 ( 10 ) 240.000 ​ Titik B ( 1 , 5 ) : F ( 1 , 5 ) ​ = = ​ 30.000 ( 1 ) + 24.000 ( 5 ) 150.000 ​ Titik C ( 4 , 4 ) : F ( 4 , 4 ) ​ = = ​ 30.000 ( 4 ) + 24.000 ( 4 ) 216.000 ​ Titik D ( 12 , 0 ) : F ( 12 , 0 ) ​ = = ​ 30.000 ( 12 ) + 24.000 ( 0 ) 360.000 ​ Berdasarkan perhitungan tersebut, titik B ( 1 , 5 ) memberikan biaya paling minimum yaitu Rp150.000. Dengan demikian,Banyaknya setiap jenis pupuk harus dibeli agar biaya pemupukan seminimal mungkin adalah 1 botol pupuk cair dan 5 kantong pupuk tabur. Keterangan : Pada pilihan jawabantertulis satuan kilogram untuk setiap jenis pupuk.Seharusnya satuan banyak pupuk cair adalah botol, dan satuan banyak pupuk tabur adalah kantong. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.