Selesaikan sistem pertidaksamaan berikut secara grafik. {y≥x2−4y≤4−x2

Pertanyaan

Selesaikan sistem pertidaksamaan berikut secara grafik.

$\left\{\begin{array}{l}y\geq x^2-4\\y\leq4-x^2\end{array}\right.\\$

R. Hajrianti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahui sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y greater or equal than x squared minus 4 end cell row cell y less or equal than 4 minus x squared end cell end table close .

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut dapat ditentukan dengan menentukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan y greater or equal than x squared minus 4 adalah dengan melukis kurva pembatas y equals x squared minus 4 . Kurva berbentuk parabola terbuka ke atas (koefisien positif) dengan titik-titik sebagai berikut.

Titik balik

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator 0 over denominator 2 open parentheses begin display style 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals 0 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative fraction numerator D over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses b squared minus 4 a c close parentheses over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses 0 squared minus 4 open parentheses begin display style 1 end style close parentheses open parentheses negative 4 close parentheses close parentheses over denominator 4 open parentheses begin display style 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses 0 plus 16 close parentheses over denominator begin display style 4 end style end fraction end cell row blank equals cell negative 16 over 4 end cell row blank equals cell negative 4 end cell end table$

Selain dengan menggunakan rumus di atas, nilai dapat ditentukan dengan mensubstitusikan x equals 0 pada persamaan y equals x squared minus 4 . Titik balik kurva adalah open parentheses 0 comma negative 4 close parentheses .

Titik potong sumbu dan sumbu

Titik balik y equals x squared minus 4 adalah open parentheses 0 comma negative 4 close parentheses , maka kurva memotong sumbu di titik . Selanjutnya titik potong kurva pada sumbu (saat y equals 0 ) sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared minus 4 end cell row cell x squared minus 4 end cell equals y row cell x squared minus 4 end cell equals 0 row cell x squared minus 4 end cell equals 0 row cell open parentheses x minus 2 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end cell equals 0 end table

x equals 2 atau x equals negative 2

Titik potong kurva y equals x squared minus 4 pada sumbu adalah open parentheses 2 comma 0 close parentheses dan open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses .

Berdasarkan titik balik dan titik potong di atas, dapat dilukis kurva y equals x squared minus 4 . Kurva dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya lebih dari sama dengan.

Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan y greater or equal than x squared minus 4 , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di dalam atau diluar kurva y equals x squared minus 4 . Misal, pilih titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses di dalam kurva , maka diperoleh:

y greater or equal than x squared minus 4 rightwards double arrow 0 greater or equal than 0 squared minus 4 equals negative 4 left parenthesis Benar right parenthesis

Titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses memenuhi pertidaksamaan y greater or equal than x squared minus 4 , maka daerah penyelesaian dari , berada di dalam kurva y equals x squared minus 4 .

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan y less or equal than 4 minus x squared adalah dengan melukis kurva pembatas y equals 4 minus x squared . Kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah (koefisien negatif) dengan titik-titik sebagai berikut.

Titik balik

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator 0 over denominator 2 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals 0 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative fraction numerator D over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses b squared minus 4 a c close parentheses over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses 0 squared minus 4 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses open parentheses 4 close parentheses close parentheses over denominator 4 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 0 plus 16 close parentheses over denominator begin display style 4 end style end fraction end cell row blank equals cell 16 over 4 end cell row blank equals 4 end table$

Selain dengan menggunakan rumus di atas, nilai dapat ditentukan dengan mensubstitusikan x equals 0 pada persamaan y equals 4 minus x squared . Titik balik kurva adalah open parentheses 0 comma 4 close parentheses .

Titik potong sumbu dan sumbu

Titik balik y equals 4 minus x squared adalah open parentheses 0 comma 4 close parentheses , maka kurva memotong sumbu di titik . Selanjutnya titik potong kurva pada sumbu (saat y equals 0 ) sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 4 minus x squared end cell row cell 4 minus x squared end cell equals y row cell 4 minus x squared end cell equals 0 row cell open parentheses 2 minus x close parentheses open parentheses 2 plus x close parentheses end cell equals 0 end table

x equals 2 atau x equals negative 2

Titik potong kurva y equals 4 minus x squared pada sumbu adalah open parentheses 2 comma 0 close parentheses dan open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses .

Berdasarkan titik balik dan titik potong di atas, dapat dilukis kurva y equals 4 minus x squared dengan menghubungkan titik-titik tersebut. Kurva dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya kurang dari sama dengan.

Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan y less or equal than 4 minus x squared , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di dalam atau diluar kurva y equals 4 minus x squared . Misal, pilih titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses di dalam kurva , maka diperoleh:

y less or equal than 4 minus x squared rightwards double arrow 0 less or equal than 4 minus 0 squared equals 4 left parenthesis Benar right parenthesis

Titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses memenuhi pertidaksamaan y less or equal than 4 minus x squared , maka daerah penyelesaian dari , berada di dalam kurva y equals 4 minus x squared .

Kemudian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y greater or equal than x squared minus 4 end cell row cell y less or equal than 4 minus x squared end cell end table close adalah irisan daerah penyelesaian pertidaksamaan dan . Gambar grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.

Dengan demikian, gambar grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y greater or equal than x squared minus 4 end cell row cell y less or equal than 4 minus x squared end cell end table close seperti pada gambar di atas.