Pertanyaan

Sebuah parabola mempunyai titik maksimum ( 1 , − 2 ) dan memotong sumbu y di ( 0 , − 3 ) . Sebuah garis melalui titik ( 0 , 0 ) dan bergradien − 2 . Tentukanlah: a.persamaan parabola dan persamaan garis b. gambar sketsa grafik parabola dan garis tersebut c. tentukanlah titik potong garis dengan parabola

Sebuah parabola mempunyai titik maksimum $(1, - 2)$ dan memotong sumbu y di $(0, - 3)$ . Sebuah garis melalui titik $(0, 0)$ dan bergradien $- 2$ . Tentukanlah:

a. persamaan parabola dan persamaan garis
b. gambar sketsa grafik parabola dan garis tersebut
c. tentukanlah titik potong garis dengan parabola

L. Nikmah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Pada soal di atas, diketahui titik maksimumparabola adalah ( 1 , − 2 ) dan memotong sumbu y di ( 0 , − 3 ) dan sebuah garis melalui titik ( 0 , 0 ) dan bergradien − 2 . a. Untuk mencaripersamaan parabola, gunakan rumus umumpersamaan parabola yaitu: y = a x 2 + b x + c Titik maksimumparabola adalah ( 1 , − 2 ) , artinya: x 1 2 a b = = = = 2 a − b 2 a − b − b − 2 a ( ∗ ) dan y − 2 − 8 a b 2 − 4 a c − 8 a = = = = 4 a − D 4 a − ( b 2 − 4 a c ) − b 2 + 4 a c 0 ( ∗ ∗ ) Parabola itumemotong sumbu y di ( 0 , − 3 ) , artinya y − 3 − 3 c = = = = a x 2 + b x + c a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c 0 + 0 + c − 3 Substitusi nilai c = − 3 dan persamaan (*) ke persamaan(**) menjadi: b 2 − 4 a c − 8 a ( − 2 a ) 2 − 4 a ( − 3 ) − 8 a 4 a 2 + 12 a − 8 a 4 a 2 + 4 a 4 a ( a + 1 ) a a = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 atau − 1 Kita pilih nilai a = − 1 agar persamaan y = a x 2 + b x + c menjadi persamaan parabola. Selanjutnya, cari nilai b = − 2 a = − 2 ⋅ ( − 1 ) = 2 . Jadi, diperoleh nilai a = − 1 , b = 2 dan c = − 3 . Dengan demikian, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = − x 2 + 2 x − 3 . Persamaan umum garis melalui titik ( 0 , 0 ) dan bergradien m adalah y = m x , sehingga persamaan garis yang melalui titik ( 0 , 0 ) dan bergradien − 2 adalah y = − 2 x . b. Gambar sketsa grafik parabola dan garis tersebut Berdasarkan informasi pada soal di atas, berikut ini adalah hasil sketsa gambarnya c. Menentukantitik potong garis dengan parabola Substitusikan persamaan garis y = − 2 x ke persamaan parabola y = − x 2 + 2 x − 3 menjadi: y − 2 x x 2 − 2 x + 3 − 2 x x 2 − 4 x + 3 ( x − 3 ) ( x − 1 ) x 1 x 2 = = = = = = = − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 2 x − 3 0 0 0 3 dan 1 Untuk . x 1 = 3 maka nilai y 1 = − 2 x = − 2 ⋅ 3 = − 6 danuntuk . x 2 = 1 maka nilai y 2 = − 2 x = − 2 ⋅ 1 = − 2 . Jadi,garis y = − 2 x dan parabola y = − x 2 + 2 x − 3 berpotongan di titik ( 3 , − 6 ) dan ( 1 , − 2 ) .

Pada soal di atas, diketahui titik maksimum parabola adalah $(1, - 2)$ dan memotong sumbu y di $(0, - 3)$ dan sebuah garis melalui titik $(0, 0)$ dan bergradien $- 2$ .

a. Untuk mencari persamaan parabola, gunakan rumus umum persamaan parabola yaitu:

$y = a x^{2} + b x + c$

Titik maksimum parabola adalah $(1, - 2)$ , artinya:

$x 1 2 a b = = = = \frac{- b}{2 a} \frac{- b}{2 a} - b - 2 a (*)$

dan

$y - 2 - 8 a b^{2} - 4 a c - 8 a = = = = \frac{- D}{4 a} \frac{- ( b ^{2} - 4 a c )}{4 a} - b^{2} + 4 a c 0 (* *)$

Parabola itu memotong sumbu y di $(0, - 3)$ , artinya

$y - 3 - 3 c = = = = a x^{2} + b x + c a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c 0 + 0 + c - 3$

Substitusi nilai $c = - 3$ dan persamaan (*) ke persamaan (**) menjadi:

$b^{2} - 4 a c - 8 a (- 2 a)^{2} - 4 a (- 3) - 8 a 4 a^{2} + 12 a - 8 a 4 a^{2} + 4 a 4 a (a + 1) a a = = = = = = = 00000 0 atau - 1$

Kita pilih nilai $a = - 1$ agar persamaan $y = a x^{2} + b x + c$ menjadi persamaan parabola. Selanjutnya, cari nilai $b = - 2 a = - 2 \cdot (- 1) = 2$ . Jadi, diperoleh nilai $a = - 1$ , $b = 2$ dan $c = - 3$ . Dengan demikian, persamaan parabola yang dimaksud adalah $y = - x^{2} + 2 x - 3$ .

Persamaan umum garis melalui titik $(0, 0)$ dan bergradien $m$ adalah $y = m x$ , sehingga persamaan garis yang melalui titik $(0, 0)$ dan bergradien $- 2$ adalah $y = - 2 x$ .

b. Gambar sketsa grafik parabola dan garis tersebut

Berdasarkan informasi pada soal di atas, berikut ini adalah hasil sketsa gambarnya

c. Menentukan titik potong garis dengan parabola

Substitusikan persamaan garis $y = - 2 x$ ke persamaan parabola $y = - x^{2} + 2 x - 3$ menjadi:

$y - 2 x x^{2} - 2 x + 3 - 2 x x^{2} - 4 x + 3 (x - 3) (x - 1) x_{1} x_{2} = = = = = = = - x^{2} + 2 x - 3 - x^{2} + 2 x - 3 000 3 dan 1$

Untuk . $x_{1} = 3$ maka nilai $y_{1} = - 2 x = - 2 \cdot 3 = - 6$ dan untuk . $x_{2} = 1$ maka nilai $y_{2} = - 2 x = - 2 \cdot 1 = - 2$ .

Jadi, garis $y = - 2 x$ dan parabola $y = - x^{2} + 2 x - 3$ berpotongan di titik $(3, - 6)$ dan $(1, - 2)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan panjang segmen garis yang menghubungkan titik-titik potong a. Parabola y = 2 x 2 + 3 x + 5 dengan garis y = 11 − x

0.0

Jawaban terverifikasi

Garis y − x + 10 = 0 akan memotong parabola y = x 2 − ( a − 2 ) x + 6 di dua titik apabila ....

1.0

Jawaban terverifikasi

Himpunan penyelesaian sistem persamaan { x − y = 1 x 2 − 6 x − y + 5 = 0 adalah { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) } . NIlai x 1 + x 2 = ....

3.8

Jawaban terverifikasi

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat { y = x 2 − 4 x + 4 y = x + 4 adalah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variabel dan kuadrat sebagai berikut: (i) y = 2 x + 3 (ii) y = x 2 − 4 x + 8 Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan t...

5.0

Jawaban terverifikasi