Pertanyaan

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik ( − 1 , 7 ) adalah ...

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ yang melalui titik $(- 1, 7)$ adalah ...

$3 x + 4 y - 25 = 0$
$3 x + 4 y + 25 = 0$
$4 x - 3 y - 25 = 0$
$4 x + 3 y - 25 = 0$
$4 x + 3 y + 25 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Firmansyah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y = r 2 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal ( x 2 , y 2 ) dan ( x 3 , y 3 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 , y 1 ) dan titik polar ( x 2 , y 2 ) atau ( x 3 , y 3 ) menggunakan rumus. y 2 − y 1 y − y 1 = x 2 − x 1 x − x 1 Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan titik ( − 1 , 7 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 ( − 1 ) 2 + ( 7 ) 2 = = = 25 1 + 49 50 Karena x 2 + y 2 > r 2 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y ( − 1 ) x + ( 7 ) y − x + 7 y = = = r 2 25 25 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − x + 7 y − x x = = = 25 25 − 7 y 7 y − 25 Substitusi persamaan garis polarke persamaan lingkaran x 2 + y 2 ( 7 y − 25 ) 2 + y 2 49 y 2 − 350 y + 625 + y 2 50 y 2 − 350 y + 625 − 25 50 y 2 − 350 y + 600 y 2 − 7 y + 12 ( y − 3 ) ( y − 4 ) = = = = = = = 25 25 25 0 0 0 0 Sehingga didapat pembuat nol nya adalah y − 3 y = = 0 3 atau y − 4 y = = 0 4 Untuk y = 3 maka nilai x adalah x = = = = 7 y − 25 7 ( 3 ) − 25 21 − 25 − 4 Didapat titik polar yang pertama adalah ( − 4 , 3 ) . Untuk y = 4 maka nilai x adalah x = = = = 7 y − 25 7 ( 4 ) − 25 28 − 25 3 Didapat titik polar yang kedua adalah ( 3 , 4 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( − 1 , 7 ) dan titik polar ( − 4 , 3 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 3 ) − ( 7 ) y − ( 7 ) − 4 y − 7 − 3 ( y − 7 ) − 3 y + 21 4 x − 3 y + 21 + 4 4 x − 3 y + 25 = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( − 4 ) − ( − 1 ) x − ( − 1 ) − 3 x + 1 − 4 ( x + 1 ) − 4 x − 4 0 0 Didapat persamaan garis singgung 4 x − 3 y + 25 = 0 . Untuk titik ( − 1 , 7 ) dan titik polar ( 3 , 4 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 4 ) − ( 7 ) y − ( 7 ) − 3 y − 7 4 ( y − 7 ) 4 y − 28 3 x + 4 y − 28 + 3 3 x + 4 y − 25 = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( 3 ) − ( − 1 ) x − ( − 1 ) 4 x + 1 − 3 ( x + 1 ) − 3 x − 3 0 0 Didapat persamaan garis singgung 3 x + 4 y − 25 = 0 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingakaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

$1)$ Mencari persamaan garis polar. $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ .

$2)$ Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal $(x_{2}, y_{2}) dan (x_{3}, y_{3})$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ dan titik polar $(x_{2}, y_{2}) atau (x_{3}, y_{3})$ menggunakan rumus.

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ dan titik $(- 1, 7)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} (- 1)^{2} + (7)^{2} = = = 25 1 + 49 50$

Karena $x^{2} + y^{2} > r^{2}$ maka titik berada di luar lingkaran. Jadi

$1)$ Mencari persamaan garis polar.

$x_{1} x + y_{1} y (- 1) x + (7) y - x + 7 y = = = r^{2} 2525$

$2)$ Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

$- x + 7 y - x x = = = 25 25 - 7 y 7 y - 25$

Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} (7 y - 25)^{2} + y^{2} 49 y^{2} - 350 y + 625 + y^{2} 50 y^{2} - 350 y + 625 - 25 50 y^{2} - 350 y + 600 y^{2} - 7 y + 12 (y - 3) (y - 4) = = = = = = = 2525250000$

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

$y - 3 y = = 03$

atau

$y - 4 y = = 04$

Untuk $y = 3$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = 7 y - 25 7 (3) - 25 21 - 25 - 4$

Didapat titik polar yang pertama adalah $(- 4, 3)$ .

Untuk $y = 4$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = 7 y - 25 7 (4) - 25 28 - 25 3$

Didapat titik polar yang kedua adalah $(3, 4)$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik $(- 1, 7)$ dan titik polar $(- 4, 3)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 7 )}{( 3 ) - ( 7 )} \frac{y - 7}{- 4} - 3 (y - 7) - 3 y + 21 4 x - 3 y + 21 + 4 4 x - 3 y + 25 = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( - 1 )}{( - 4 ) - ( - 1 )} \frac{x + 1}{- 3} - 4 (x + 1) - 4 x - 4 00$

Didapat persamaan garis singgung $4 x - 3 y + 25 = 0$ .

Untuk titik $(- 1, 7)$ dan titik polar $(3, 4)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 7 )}{( 4 ) - ( 7 )} \frac{y - 7}{- 3} 4 (y - 7) 4 y - 28 3 x + 4 y - 28 + 3 3 x + 4 y - 25 = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( - 1 )}{( 3 ) - ( - 1 )} \frac{x + 1}{4} - 3 (x + 1) - 3 x - 3 00$