Pertanyaan

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 12 y + 32 = 0 yang melalui titik ( 2 , 4 ) adalah ...

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 8 x - 12 y + 32 = 0$ yang melalui titik $(2, 4)$ adalah ...

$x - 2 y - 8 = 0$
$x - 2 y - 6 = 0$
$2 x + y - 8 = 0$
$2 x + y - 6 = 0$
$2 x + y + 8 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Firmansyah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingakaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C = 0 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal ( x 2 , y 2 ) dan ( x 3 , y 3 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 , y 1 ) dan titik polar ( x 2 , y 2 ) atau ( x 3 , y 3 ) menggunakan rumus. y 2 − y 1 y − y 1 = x 2 − x 1 x − x 1 Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 12 y + 32 = 0 dan titik ( 2 , 4 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 8 x − 12 y + 32 ( 2 ) 2 + ( 4 ) 2 + 8 ( 2 ) − 12 ( 4 ) + 32 = = = 0 4 + 4 + 16 − 24 + 32 32 Karena x 2 + y 2 + A x + B y + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 2 + y ) + C ( 2 ) x + ( 4 ) y + 2 8 ( 2 + x ) − 2 12 ( 4 + y ) + 32 2 x + 4 y + 4 ( 2 + x ) − 6 ( 4 + y ) + 32 2 x + 4 y + 8 + 4 x − 24 − 6 y + 32 6 x − 2 y + 16 3 x − y + 8 = = = = = = 0 0 0 0 0 0 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. 3 x − y + 8 3 x + 8 y = = = 0 y 3 x + 8 Substitusi persamaan garis polarke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 12 y + 32 x 2 + ( 3 x + 8 ) 2 + 8 x − 12 ( 3 x + 8 ) + 32 x 2 + 9 x 2 + 48 x + 64 + 8 x − 36 x − 96 + 32 10 x 2 + 20 x x 2 + 2 x x ( x + 2 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 Sehingga didapat pembuat nol nya adalah x = 0 atau x + 2 x = = 0 − 2 Untuk x = 0 maka nilai y adalah y = = = 3 x + 8 3 ( 0 ) + 8 8 Didapat titik polar yang pertama adalah ( 0 , 8 ) . Untuk x = − 2 maka nilai y adalah y = = = = 3 x + 8 3 ( − 2 ) + 8 − 6 + 8 2 Didapat titik polar yang kedua adalah ( − 2 , 2 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( 2 , 4 ) dan titik polar ( 0 , 8 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 8 ) − ( 4 ) y − ( 4 ) 4 y − 4 − 2 ( y − 4 ) − 2 y + 8 − 4 x − 2 y + 8 + 8 − 4 x − 2 y + 16 2 x + y − 8 = = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( 0 ) − ( 2 ) x − ( 2 ) − 2 x − 2 4 ( x − 2 ) 4 x − 8 0 0 0 Didapat persamaan garis singgung 2 x + y − 8 = 0 . Untuk titik ( 2 , 4 ) dan titik polar ( − 2 , 2 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 2 ) − ( 4 ) y − ( 4 ) − 2 y − 4 − 4 ( y − 4 ) − 4 y + 16 2 x − 4 y + 16 − 4 2 x − 4 y + 12 x − 2 y + 6 = = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( − 2 ) − ( 2 ) x − ( 2 ) − 4 x − 2 − 2 ( x − 2 ) − 2 x + 4 0 0 0 Didapat persamaan garis singgung x − 2 y + 6 = 0 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingakaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

$1)$ Mencari persamaan garis polar. $x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C = 0$ .

$2)$ Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal $(x_{2}, y_{2}) dan (x_{3}, y_{3})$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ dan titik polar $(x_{2}, y_{2}) atau (x_{3}, y_{3})$ menggunakan rumus.

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 8 x - 12 y + 32 = 0$ dan titik $(2, 4)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} + 8 x - 12 y + 32 (2)^{2} + (4)^{2} + 8 (2) - 12 (4) + 32 = = = 0 4 + 4 + 16 - 24 + 32 32$

Karena $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C > 0$ maka titik berada di luar lingkaran. Jadi

$1)$ Mencari persamaan garis polar.

$x_{1} x + y_{1} y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{2} + y) + C (2) x + (4) y + \frac{8}{2} (2 + x) - \frac{12}{2} (4 + y) + 32 2 x + 4 y + 4 (2 + x) - 6 (4 + y) + 32 2 x + 4 y + 8 + 4 x - 24 - 6 y + 32 6 x - 2 y + 16 3 x - y + 8 = = = = = = 000000$

$2)$ Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

$3 x - y + 8 3 x + 8 y = = = 0 y 3 x + 8$

Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} + 8 x - 12 y + 32 x^{2} + (3 x + 8)^{2} + 8 x - 12 (3 x + 8) + 32 x^{2} + 9 x^{2} + 48 x + 64 + 8 x - 36 x - 96 + 32 10 x^{2} + 20 x x^{2} + 2 x x (x + 2) = = = = = = 000000$

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

$x = 0$

atau

$x + 2 x = = 0 - 2$

Untuk $x = 0$ maka nilai $y$ adalah

$y = = = 3 x + 8 3 (0) + 8 8$

Didapat titik polar yang pertama adalah $(0, 8)$ .

Untuk $x = - 2$ maka nilai $y$ adalah

$y = = = = 3 x + 8 3 (- 2) + 8 - 6 + 8 2$

Didapat titik polar yang kedua adalah $(- 2, 2)$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik $(2, 4)$ dan titik polar $(0, 8)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 4 )}{( 8 ) - ( 4 )} \frac{y - 4}{4} - 2 (y - 4) - 2 y + 8 - 4 x - 2 y + 8 + 8 - 4 x - 2 y + 16 2 x + y - 8 = = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 2 )}{( 0 ) - ( 2 )} \frac{x - 2}{- 2} 4 (x - 2) 4 x - 8 000$

Didapat persamaan garis singgung $2 x + y - 8 = 0$ .

Untuk titik $(2, 4)$ dan titik polar $(- 2, 2)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 4 )}{( 2 ) - ( 4 )} \frac{y - 4}{- 2} - 4 (y - 4) - 4 y + 16 2 x - 4 y + 16 - 4 2 x - 4 y + 12 x - 2 y + 6 = = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( 2 )}{( - 2 ) - ( 2 )} \frac{x - 2}{- 4} - 2 (x - 2) - 2 x + 4 000$