Pertanyaan

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 100 yang melalui titik ( − 2 , 14 ) adalah ...

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 100$ yang melalui titik $(- 2, 14)$ adalah ...

$3 x - 4 y = 25$
$3 x + 4 y = 25$
$6 x - 8 y = 100$
$6 x + 8 y = 100$
$8 x - 6 y = 100$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaranpada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni: 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y = r 2 . 2 ) Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal ( x 2 , y 2 ) dan ( x 3 , y 3 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung dari titik ( x 1 , y 1 ) dan titik polar ( x 2 , y 2 ) atau ( x 3 , y 3 ) menggunakan rumus. y 2 − y 1 y − y 1 = x 2 − x 1 x − x 1 Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 100 dan titik ( − 2 , 14 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 ( − 2 ) 2 + ( 14 ) 2 = = = 100 4 + 196 200 Karena x 2 + y 2 > r 2 maka titik berada di luar lingkaran. Jadi 1 ) Mencari persamaan garis polar. x 1 x + y 1 y ( − 2 ) x + ( 14 ) y − 2 x + 14 y − x + 7 y = = = = r 2 100 100 50 2 ) Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. − x + 7 y − x x = = = 50 50 − 7 y 7 y − 50 Substitusi persamaan garis polarke persamaan lingkaran x 2 + y 2 ( 7 y − 50 ) 2 + y 2 49 y 2 − 700 y + 2.500 + y 2 50 y 2 − 700 y + 2.500 − 100 50 y 2 − 700 y + 2.400 y 2 − 14 y + 48 ( y − 6 ) ( y − 8 ) = = = = = = = 100 100 100 0 0 0 0 Sehingga didapat pembuat nol nya adalah y − 6 y = = 0 6 atau y − 8 y = = 0 8 Untuk y = 6 maka nilai x adalah x = = = = 7 y − 50 7 ( 6 ) − 50 42 − 50 − 8 Didapat titik polar yang pertama adalah ( − 8 , 6 ) . Untuk y = 8 maka nilai x adalah x = = = = 7 y − 50 7 ( 8 ) − 50 56 − 50 6 Didapat titik polar yang kedua adalah ( 6 , 8 ) . 3 ) Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis. Untuk titik ( − 2 , 14 ) dan titik polar ( − 8 , 6 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 6 ) − ( 14 ) y − ( 14 ) − 8 y − 14 − 6 ( y − 14 ) − 6 y + 84 8 x − 6 y 8 x − 6 y = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( − 8 ) − ( − 2 ) x − ( − 2 ) − 6 x + 2 − 8 ( x + 2 ) − 8 x − 16 − 16 − 84 − 100 Didapat persamaan garis singgung 8 x − 6 y = − 100 . Untuk titik ( − 2 , 14 ) dan titik polar ( 6 , 8 ) y 2 − y 1 y − y 1 ( 8 ) − ( 14 ) y − ( 14 ) − 6 y − 14 8 ( y − 14 ) 8 y − 112 6 x + 8 y 6 x + 8 y = = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 ( 6 ) − ( − 2 ) x − ( − 2 ) 8 x + 2 − 6 ( x + 2 ) − 6 x − 12 − 12 + 112 100 Didapat persamaan garis singgung 6 x + 8 y = 100 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ di luar lingkaran. Ada beberapa langkah yang harus dikerjakan, yakni:

$1)$ Mencari persamaan garis polar. $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ .

$2)$ Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik polar, misal $(x_{2}, y_{2}) dan (x_{3}, y_{3})$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung dari titik $(x_{1}, y_{1})$ dan titik polar $(x_{2}, y_{2}) atau (x_{3}, y_{3})$ menggunakan rumus.

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Sehingga, jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 100$ dan titik $(- 2, 14)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengan substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} (- 2)^{2} + (14)^{2} = = = 100 4 + 196 200$

Karena $x^{2} + y^{2} > r^{2}$ maka titik berada di luar lingkaran. Jadi

$1)$ Mencari persamaan garis polar.

$x_{1} x + y_{1} y (- 2) x + (14) y - 2 x + 14 y - x + 7 y = = = = r^{2} 10010050$

$2)$ Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran.

$- x + 7 y - x x = = = 50 50 - 7 y 7 y - 50$

Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} (7 y - 50)^{2} + y^{2} 49 y^{2} - 700 y + 2.500 + y^{2} 50 y^{2} - 700 y + 2.500 - 100 50 y^{2} - 700 y + 2.400 y^{2} - 14 y + 48 (y - 6) (y - 8) = = = = = = = 1001001000000$

Sehingga didapat pembuat nol nya adalah

$y - 6 y = = 06$

atau

$y - 8 y = = 08$

Untuk $y = 6$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = 7 y - 50 7 (6) - 50 42 - 50 - 8$

Didapat titik polar yang pertama adalah $(- 8, 6)$ .

Untuk $y = 8$ maka nilai $x$ adalah

$x = = = = 7 y - 50 7 (8) - 50 56 - 50 6$

Didapat titik polar yang kedua adalah $(6, 8)$ .

$3)$ Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis.

Untuk titik $(- 2, 14)$ dan titik polar $(- 8, 6)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 14 )}{( 6 ) - ( 14 )} \frac{y - 14}{- 8} - 6 (y - 14) - 6 y + 84 8 x - 6 y 8 x - 6 y = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( - 2 )}{( - 8 ) - ( - 2 )} \frac{x + 2}{- 6} - 8 (x + 2) - 8 x - 16 - 16 - 84 - 100$

Didapat persamaan garis singgung $8 x - 6 y = - 100$ .

Untuk titik $(- 2, 14)$ dan titik polar $(6, 8)$

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - ( 14 )}{( 8 ) - ( 14 )} \frac{y - 14}{- 6} 8 (y - 14) 8 y - 112 6 x + 8 y 6 x + 8 y = = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x - ( - 2 )}{( 6 ) - ( - 2 )} \frac{x + 2}{8} - 6 (x + 2) - 6 x - 12 - 12 + 112 100$