Pertanyaan

Pusat sebuah lingkaran terletak pada sumbu X .Jika lingkaran itu menyinggung garis y = x di titik ( a , a ) dengan a > 0 , maka persamaannya berbentuk....

Pusat sebuah lingkaran terletak pada sumbu $X$ . Jika lingkaran itu menyinggung garis $y = x$ di titik $(a, a)$ dengan $a > 0$ , maka persamaannya berbentuk ....

$x^{2} + y^{2} + 4 a x + 2 a^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 a x - 2 a^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 a^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 a y + 2 a^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 a y - 2 a^{2} = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Ingat! Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan berjari-jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . Pusat sebuah lingkaran terletak pada sumbu X artinya pusat lingkaran tersebut adalah ( p , 0 ) .Jika lingkaran itu menyinggung garis y = x di titik ( a , a ) dengan a > 0 , artinya jari-jari lingkaran tersebut adalah r r r = = = a 2 + ( p − a ) 2 a 2 + p 2 − 2 a p + a 2 2 a 2 + p 2 − 2 a p ...(*) Perhatikan gambar di bawah ini. Jari-jari yang berpotongan dengan titik singgung membentuk sudut siku-siku sehingga panjang jari-jari dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras berikut r r = = p 2 − ( a 2 ) 2 p 2 − 2 a 2 ...(**) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh r p 2 − 2 a 2 = = 2 a 2 + p 2 − 2 a p 2 a 2 + p 2 − 2 a p ( Kuadratkan kedua ruas ) p 2 − 2 a 2 2 a 2 + p 2 − 2 a p + 2 a 2 − p 2 4 a 2 − 2 a p = = = 2 a 2 + p 2 − 2 a p 0 0 ( Kalikan kedua ruas dengan 2 1 ) 2 a 2 − a p a ( 2 a − p ) a atau 2 a a = = = = = 0 0 0 p 2 1 p Karena a > 0 maka kita pilih a = 2 1 p sehingga titik pusat lingkaran tersebut adalah ( p , 0 ) = ( 2 a , 0 ) dan jari-jarinya r r r r r = = = = = p 2 − 2 a 2 ( 2 a ) 2 − 2 a 2 4 a 2 − 2 a 2 2 a 2 a 2 Dengan demikian, persamaan lingkaran yang pusatnya ( 2 a , 0 ) dan jari-jari r = a 2 adalah ( x − 2 a ) 2 + ( y − 0 ) 2 x 2 − 4 a x + 4 a 2 + y 2 x 2 + y 2 − 4 a x + 4 a 2 − 2 a 2 x 2 + y 2 − 4 a x + 2 a 2 = = = = ( a 2 ) 2 2 a 2 0 0 Jadi, jawaban yang benar adalah C.

Ingat!

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

Pusat sebuah lingkaran terletak pada sumbu $X$ artinya pusat lingkaran tersebut adalah $(p, 0)$ . Jika lingkaran itu menyinggung garis $y = x$ di titik $(a, a)$ dengan $a > 0$ , artinya jari-jari lingkaran tersebut adalah

$r r r = = = a^{2} + (p - a)^{2} a^{2} + p^{2} - 2 a p + a^{2} 2 a^{2} + p^{2} - 2 a p$ ...(*)

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jari-jari yang berpotongan dengan titik singgung membentuk sudut siku-siku sehingga panjang jari-jari dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras berikut

$r r = = p^{2} - (a 2)^{2} p^{2} - 2 a^{2}$ ...(**)

Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh

$r p^{2} - 2 a^{2} = = 2 a^{2} + p^{2} - 2 a p 2 a^{2} + p^{2} - 2 a p$

$(Kuadratkan kedua ruas)$

$p^{2} - 2 a^{2} 2 a^{2} + p^{2} - 2 a p + 2 a^{2} - p^{2} 4 a^{2} - 2 a p = = = 2 a^{2} + p^{2} - 2 a p 00$

$(Kalikan kedua ruas dengan \frac{1}{2})$

$2 a^{2} - a p a (2 a - p) a atau 2 a a = = = = = 000 p \frac{1}{2} p$

Karena $a > 0$ maka kita pilih $a = \frac{1}{2} p$ sehingga titik pusat lingkaran tersebut adalah $(p, 0) = (2 a, 0)$ dan jari-jarinya

$r r r r r = = = = = p^{2} - 2 a^{2} (2 a)^{2} - 2 a^{2} 4 a^{2} - 2 a^{2} 2 a^{2} a 2$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang pusatnya $(2 a, 0)$ dan jari-jari $r = a 2$ adalah

$(x - 2 a)^{2} + (y - 0)^{2} x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 2 a^{2} x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 a^{2} = = = = (a 2)^{2} 2 a^{2} 00$