Roboguru

Prove that the sum of the digits of a number divisible by  is it self divisible by .

Pertanyaan

Prove that the sum of the digits of a number divisible by begin mathsize 14px style 9 end style is it self divisible by undefined.

Pembahasan Soal:

Misalkan bilangan tersebut adalah anan1an2...a1a0. Sehingga kita uraikan menjadi:

==anan1an2...a1a010nan+10an1+...+10a1+a0habisdibagi9n99..99an+n199..99an1+...+9a1+(an+an1+...+a1+a0) 

Sehingga, agar bilangan tersebut habis dibagi 9, maka haruslah:

an+an1+...+a1+a0 habis dibagi 9 (terbukti)

Dengan demikian, agar suatu bilangan habis dibagi 9, maka jumlah semua digitnya harus habis dibagi 9.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika bahwa   habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Untuk membuktikan 6 to the power of n plus 4 habis dibagi 10 maka untuk dapat dilakukan dengan menggunakan tiga langkah yaitu sebagai berikut.

Langkah pertama. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk n equals 1 maka 6 to the power of 1 plus 4 equals 10 habis dibagi 10 (benar)

Langkah kedua. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar karena berlaku untuk bilangan 1.

Untuk n equals k maka 6 to the power of k plus 4 habis dibagi 10 (asumsikan benar).

Langkah ketiga. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk n equals k plus 1 maka dapat dibuktikan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 6 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 end cell equals cell 6 to the power of k. space 6 plus 4 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 6 open parentheses 6 to the power of k plus 4 close parentheses minus 20 end cell end table   

Perhatikan open parentheses 6 to the power of k plus 4 close parentheses habis dibagi 10 sesuai dengan asumsi pada langkah kedua dan negative 20 juga habis dibagi 10. Maka, 6 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 habis dibagi 10 terbukti.

Jadi, terbukti bahwa bold 6 to the power of bold n bold plus bold 4 habis dibagi 10.

0

Roboguru

Untuk n bilangan bulat positif, buktikan kebenaran pernyataan,  habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Dibuktikan dengan menggambil sampel bilangan bulat positif n = 1,2,3

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 to the power of 1 minus 1 end cell row blank equals cell 3 minus 1 end cell row blank equals cell 2 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 squared minus 1 end cell row blank equals cell 9 minus 1 end cell row blank equals cell 8 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 cubed minus 1 end cell row blank equals cell 27 minus 1 end cell row blank equals cell 26 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Jadi untuk n bilangan bulat positif benar 3 to the power of straight n minus 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 2 end style dari pembuktian sampel bilangan bulat positif seperti 1,2,3.

0

Roboguru

Buktikan bahwa  habis dibagi oleh 3.

Pembahasan Soal:

Untuk membuktikan 2 to the power of 2 n end exponent minus 1 habis dibagi 3, maka untuk membuktikannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga langkah yaitu sebagai berikut.

Langkah pertama. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk n equals 1 maka

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 times 1 end exponent minus 1 end cell equals cell 2 squared minus 1 end cell row blank equals cell 4 minus 1 end cell row blank equals cell 3 space habis space dibagi space 3 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table    

Langkah kedua. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar karena berlaku untuk bilangan 1.

Anggap untuk n equals k maka 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 habis dibagi 3 (asumsikan benar).

Langkah ketiga. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk n equals k plus 1 maka dapat dibuktikan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 end cell equals cell 2 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 2 to the power of 2 k end exponent. space 2 squared minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 2 to the power of 2 k end exponent. space 4 minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 4 times 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 3 times 2 to the power of 2 k end exponent plus 1 times 2 to the power of k minus 1 end cell row blank equals cell 3 times 2 to the power of 2 k end exponent plus 2 to the power of k minus 1 end cell end table   

Perhatikan 3 times open parentheses 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses habis dibagi 3 dan 2 to the power of k minus 1 juga habis dibagi 3, hal ini sesuai dengan asumsi ada langkah kedua. Maka, 2 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 habis dibagi 3 terbukti. 

Jadi, terbukti bahwa 2 to the power of 2 n end exponent minus 1 habis dibagi 3.

0

Roboguru

Prove that  is divisible by , where .

Pembahasan Soal:

Untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight x to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell equals cell straight x to the power of 2.1 plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2.1 plus 1 end exponent end cell row blank equals cell straight x cubed plus straight y cubed end cell row blank equals cell left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis left parenthesis straight x squared minus xy plus straight y squared right parenthesis rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight x to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell equals cell straight x to the power of 2. straight k plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2. straight k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell straight x to the power of 2 straight k plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 straight k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis left parenthesis straight x to the power of 2 straight k end exponent plus straight y to the power of 2 straight k end exponent right parenthesis rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight x to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 straight n plus 1 end exponent end cell equals cell straight x to the power of 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell row blank equals cell straight x to the power of 2 straight k plus 3 end exponent plus straight y to the power of 2 straight k plus 3 end exponent end cell row blank equals cell left parenthesis straight x to the power of 2 straight k end exponent. straight x cubed right parenthesis plus left parenthesis straight y to the power of 2 straight k end exponent. straight y cubed right parenthesis end cell row blank equals cell open parentheses straight x cubed plus straight y cubed close parentheses open parentheses straight x to the power of 2 straight k end exponent plus straight y to the power of 2 straight k end exponent close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses straight x plus straight y close parentheses open parentheses straight x squared minus xy plus straight y squared close parentheses open parentheses straight x to the power of 2 straight k end exponent plus straight y to the power of 2 straight k end exponent close parentheses rightwards arrow terbukti end cell end table

Jadi terbukti untuk straight x to the power of 2 straight n plus 1 end exponent plus straight y to the power of 2 straight n plus 1 end exponent dibagi straight x plus straight y karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses straight x plus straight y close parentheses open parentheses straight x squared minus xy plus straight y squared close parentheses open parentheses straight x to the power of 2 straight k end exponent plus straight y to the power of 2 straight k end exponent close parentheses end cell end table habis di bagi x+y

0

Roboguru

If f(n)=32n+7, where  is a natural number, show that f(n+1)−f(n) is divisible by . Hence, prove by induction that  is divisible by .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

f(1+1)f(1)=====32(2)+7(32(1)+7)34+7(32+7)81+7(9+7)881672 

72 habis dibagi 8, sehingga untuk n=1, pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

f(k+1)f(k)======32(k+1)+7(32k+7)32k+2+732k732k+232k32k.3232k32k(91)8.32k(habisdibagi8)  

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan:

 f((k+1)+1)f(k+1)======32(k+1+1)+7(32(k+1)+7)32k+4+732k+2732k+432k+232k+2.3232k+232k+2(91)habisdibagi88.32k+2 

Dengan demikian, pernyataan f(n+1)f(n) dengan f(n)=32n+7 habis dibagi 8.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved