Pertanyaan

Persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3 x + 4 y = 16 pada titik ( 4 , 1 ) dan berjari-jari 5 adalah ....

Persamaan lingkaran yang menyinggung garis $3 x + 4 y = 16$ pada titik $(4, 1)$ dan berjari-jari $5$ adalah ....

$(x - 7)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$
$(x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$
$(x + 7)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$
$(x + 4)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$
$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

Y. Endah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A. Ingat kembali persamaan lingkaran dengan pusat P ( a , b ) dan berjari-jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 atau dapat ditulis dalam bentuk x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dimana A = − 2 a , B = − 2 b , C = a 2 + b 2 − r 2 .Ingat juga bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkarannya. Garis 3 x + 4 y = 16 menyinggung lingkaran di titik ( 4 , 1 ) maka persamaan garis yang tegak lurus dengan 3 x + 4 y = 16 adalah y − 1 3 y − 3 4 x − 3 y = = = 3 4 ( x − 4 ) 4 x − 16 13 Misalkan ( a , b ) pusat lingkaran maka 4 a − 3 b a = = 13 4 13 + 3 b sehingga persamaan lingkaranya adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 4 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 ( 4 − ( 4 13 + 3 b ) ) 2 + ( 1 − b ) 2 16 − 26 − 6 b + ( 4 13 + 3 b ) 2 + 1 − 2 b + b 2 − 10 − 6 b + 16 169 + 78 b + 9 b 2 + 1 − 2 b + b 2 − 8 b + 16 169 + 78 b + 9 b 2 + b 2 − 128 b + 169 + 78 b + 9 b 2 + 16 b 2 25 b 2 − 50 b − 375 b 2 − 2 b − 15 ( b + 3 ) ( b − 5 ) b b = = = = = = = = = = = = r 2 25 25 25 25 34 544 0 0 0 − 3 5 selanjutnya disubstituiskan b = − 3 atau b = 5 pada a = 4 13 + 3 b diperoleh a = − 1 atau a = 7 . Dengan demikian, persamaan lingkaran yang diperoleh adalah ( x + 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25 atau ( x − 7 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 25 .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Ingat kembali persamaan lingkaran dengan pusat $P (a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

atau dapat ditulis dalam bentuk $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dimana $A = - 2 a, B = - 2 b, C = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ . Ingat juga bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkarannya. Garis $3 x + 4 y = 16$ menyinggung lingkaran di titik $(4, 1)$ maka persamaan garis yang tegak lurus dengan $3 x + 4 y = 16$ adalah

$y - 1 3 y - 3 4 x - 3 y = = = \frac{4}{3} (x - 4) 4 x - 16 13$

Misalkan $(a, b)$ pusat lingkaran maka

$4 a - 3 b a = = 13 \frac{13 + 3 b}{4}$

sehingga persamaan lingkaranya adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (4 - a)^{2} + (1 - b)^{2} (4 - (\frac{13 + 3 b}{4}))^{2} + (1 - b)^{2} 16 - 26 - 6 b + (\frac{13 + 3 b}{4})^{2} + 1 - 2 b + b^{2} - 10 - 6 b + \frac{169 + 78 b + 9 b ^{2}}{16} + 1 - 2 b + b^{2} - 8 b + \frac{169 + 78 b + 9 b ^{2}}{16} + b^{2} - 128 b + 169 + 78 b + 9 b^{2} + 16 b^{2} 25 b^{2} - 50 b - 375 b^{2} - 2 b - 15 (b + 3) (b - 5) b b = = = = = = = = = = = = r^{2} 2525252534544000 - 3 5$

selanjutnya disubstituiskan $b = - 3 atau b = 5$ pada $a = \frac{13 + 3 b}{4}$ diperoleh $a = - 1 atau a = 7$ . Dengan demikian, persamaan lingkaran yang diperoleh adalah $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 atau (x - 7)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ .